Prove o seguinte:
( 1,0 ponto) Uma matriz A de tamanho n \times n é dita antissimétrica se A^{T}=-A. Prove que se n é ímpar, então A é singular.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz antissimétrica A\in\mathbb{R}^{n\times n} (isto é, que satisfaz A^{T}=-A) é singular sempre que n é ímpar. O conteúdo principal que vamos usar são propriedades do determinante:
\det(A^{T}) = \det(A).
\det(cA) = c^{n}\det(A) para escalar c.
Passo 2
Da antissimetria A^{T}=-A tiramos, aplicando determinante em ambos os lados,