Prove o seguinte:
( 1,0 ponto) Uma matriz A de tamanho n \times n é dita antissimétrica se A^{T}=-A. Prove que se n é ímpar, então A é singular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz antissimétrica A\in\mathbb{R}^{n\times n} (isto é, que satisfaz A^{T}=-A) é singular sempre que n é ímpar. O conteúdo principal que vamos usar são propriedades do determinante:
  1. \det(A^{T}) = \det(A).
  2. \det(cA) = c^{n}\det(A) para escalar c.

Passo 2

Da antissimetria A^{T}=-A tiramos, aplicando determinante em ambos os lados,
\det\bigl(A^{T}\bigr)\;=\;\det(-A).

Passo 3

Pelas propriedades do determinante temos
\det\bigl(A^{T}\bigr)=\det(A) \quad\text{e}\quad \det(-A)=(-1)^{n}\det(A).
Como n é ímpar, (-1)^{n}=-1, logo
\det(-A) = -\,\det(A).

Passo 4

Igualando as duas expressões do determinante obtidas em

Passo 5

\det(A) = -\,\det(A) \;\;\Longrightarrow\;\; 2\,\det(A)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \det(A)=0.
Portanto, A é singular.

Resposta

Ficou provado que se n é ímpar e A^{T}=-A, então \det(A)=0, ou seja, A é singular.

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