Prove o seguinte:
( 1,0 ponto) Uma matriz
de tamanho
é dita antissimétrica se
. Prove que se
é ímpar, então
é singular.
( 1,0 ponto) Uma matriz
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz antissimétrica
(isto é, que satisfaz
) é singular sempre que
é ímpar. O conteúdo principal que vamos usar são propriedades do determinante:
-
. -
para escalar .
Passo 2
Da antissimetria
tiramos, aplicando determinante em ambos os lados,
Passo 3
Pelas propriedades do determinante temos
Como
é ímpar,
, logo
Passo 4
Igualando as duas expressões do determinante obtidas em
Passo 5
Portanto,
é singular.
Resposta
Ficou provado que se
é ímpar e
, então
, ou seja,
é singular.