(10 pta) Unia mola que nioo obedece a Lei de Hooke, exeree uma forcan conservativa, com energia potencial
U(x)=a x^{2}+b x^{3},
onde
a=30,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \quad b=6,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}
e x representa a deformagao da mola a partir do ponto de equilibrio O. A massa da mola 6 desprezivel.
a) (3 pts ) Determine a componente da força F_{x} exercida pela mola como função de sua deformação x.
b) (2 pts) Esta força é restauradora? Justifique sua resposta.
c) ( 5 pts) Um bloco de massa igual a 0,900 \mathrm{~kg}, inicialmente em repouso sobre uma superficie horizontal sem atrito, está preso a essa mola. O bloco é puxado para a direita (sentido de +O x ), esticando a mola ate x=1,0 \mathrm{~m}, e em seguida e liberado. Qual e o modulo da velocidade do bloco ao passar por uma distincia de 0,5 \mathrm{~m} ầ direita do ponto de equilibrio?

Passo 1

Temos uma mola não linear com energia potencial
U(x)=a\,x^{2}+b\,x^{3}
onde a=30,0\\ \mathrm{N/m} e b=6,0\\ \mathrm{N/m^{2}}. A massa da mola é desprezível. Precisamos:
a) calcular a força F_{x} em função de x;
b) verificar se essa força é restauradora;
c) determinar a velocidade de um bloco de massa 0,900\\ \mathrm{kg} que parte de x=1,0\\ \mathrm{m} (em repouso) e passa por x=0,5\\ \mathrm{m} sem atrito.

Passo 2

A força conservativa associada a U(x) é
F_{x}=-\frac{dU}{dx}=-\bigl(2a\,x+3b\,x^{2}\bigr)
Substituindo a=30,0 e b=6,0 obtemos
F_{x}=-(60\,x+18\,x^{2})\\ \mathrm{N}

Passo 3

Uma força é restauradora se ela aponta sempre em direção ao ponto de equilíbrio, ou seja, se F_{x}\,x<0 para todo x\neq0. Aqui, para x>0 temos F_{x}<0 e para x<0 temos F_{x}>0. Logo, a força é restauradora.

Passo 4

Usamos conservação de energia entre x_i=1,0\\ \mathrm{m} (velocidade inicial nula) e x_f=0,5\\ \mathrm{m}.
U_i=30,0\,(1,0)^2+6,0\,(1,0)^3=36,0\\ \text{J}
U_f=30,0\,(0,5)^2+6,0\,(0,5)^3=7,5+0,75=8,25\\ \text{J}
Como K_i=0, a energia cinética final é
K_f=U_i-U_f=27,75\\ \text{J}
Logo
v=\sqrt{\frac{2K_f}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot27,75}{0,900}}\approx7,86\\ \mathrm{m/s}

Resposta

a) \displaystyle F_{x}=-\bigl(2a\,x+3b\,x^{2}\bigr)=-\bigl(60\,x+18\,x^{2}\bigr)\\ \mathrm{N}.
b) Sim. Como F_{x}\,x<0, a força aponta sempre para o equilíbrio.
c) \displaystyle v\approx7,86\\ \mathrm{m/s}.

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