Questão 1 - (Pontuaçăo: 2,0)

Em um reservatório constituído de uma mistura de 500 g de água a 20^{\circ} \mathrm{C} e 200 g de gelo em equilibrio a 0^{\circ} \mathrm{C} é adicionado 200 g de vapor de água a 100^{\circ} \mathrm{C}.
Nesse processo de mistura, o sistema perde 20.000 cal para as vizinhanças.
(a) Calcule o estado final do sistema, i.e., calcule a temperatura final e a massa de água em cada fase (sólido, liquido e/ou vapor).
(b) Caso se deseje que o estado final do sistema seja constituido de água (liquida) a 70^{\circ} \mathrm{C}, calcule a massa de vapor que deve ser adicionada nas mesmas condiçöes.

Passo 1

O enunciado diz que temos inicialmente 500 g de água a 20\circC e 200 g de gelo a 0\circC. Adicionam-se 200 g de vapor a 100\circC e o sistema perde 20000 cal para o ambiente. Precisamos usar calorimetria com calor específico da água \,c_w=1\text{ cal/g}^{\circ}\text{C}, calor latente de fusão do gelo \,L_f=80\text{ cal/g} e calor latente de vaporização do vapor \,L_v=540\text{ cal/g} para achar o estado final (temperatura e massas em cada fase).

Passo 2

Primeiro testamos se a temperatura final ficaria abaixo ou acima de 100\circC. Se supusermos água líquida a T>100^{\circ}\text{C} ou vapor puro, seria mais trabalhoso. Em vez disso, vamos checar se ao condensar todo o vapor a 100\circC sobra calor suficiente para manter a mistura a 100\circC, o que indica equilíbrio na ebulição.

Passo 3

Calculemos as “demandas” de calor para levar gelo e água ao equilíbrio a 100\circC, mais a perda ao ambiente, e comparemos com o calor liberado pela condensação de todo o vapor:
\text{Demanda} = \underbrace{500\cdot c_w\,(100-20)}_{\substack{\text{aquecimento}\\text{água inicial}}} + \underbrace{200\cdot L_f}_{\substack{\text{fusão}\\text{do gelo}}} + \underbrace{200\cdot c_w\,(100-0)}_{\substack{\text{aquecimento}\\text{água do gelo}}} + 20\,000áãá
=500\cdot80 + 200\cdot80 + 200\cdot100 +20\,000 =40\,000 +16\,000 +20\,000 +20\,000 =96\,000\text{ cal}
Calor liberado se todo o vapor condensar a 100\circC:
Q_{\rm cond} =200\cdot L_v =200\cdot540=108\,000\text{ cal}.
Como 108\,000>96\,000, sobra
Q_{\rm sobra}=108\,000-96\,000=12\,000\text{ cal},
que vai evaporar parte da água líquida a 100\circC.

Passo 4

A massa de água que evapora para consumir esses 12000 cal é
m_{\rm evap}=\frac{12\,000}{L_v}=\frac{12\,000}{540}\approx22{,}22\text{ g}.
Assim, do vapor inicial de 200 g condensam-se na prática 200-22{,}22=177{,}78 g de vapor, e evaporam-se 22,22 g de água que já havia virado líquido. A massa total de líquido final é
500 + 200 + (200 -22{,}22) -0 =500+200+177{,}78=877{,}78\text{ g},
e a massa de vapor final é 22{,}22 g? Atenção: como evaporamos 22,22 g após condensar 200, na verdade a fração de vapor que sobra é
m_{\rm vapor,final}=200 - (200 -22{,}22)=22{,}22\text{ g}.
Portanto, o sistema fica em equilíbrio de ebulição a 100\circC com 877,78 g de líquido e 22,22 g de vapor.

Passo 5

Para a parte (b), queremos água líquida única a 70\circC. Chamemos m a massa de vapor necessária. O balanço é:
Calor necessário para gelo e água chegarem a 70\circC, mais perda:
Q_{\rm dem} = 500\cdot1\,(70-20) +200\cdot80 +200\cdot1\,(70-0) +20\,000 =25\,000+16\,000+14\,000+20\,000=75\,000\text{ cal}.
Calor fornecido ao condensar m gramas de vapor e resfriar a água condensada de 100\circC a 70\circC:
Q_{\rm sup} =m\cdot L_v + m\cdot1\,(100-70) =540m +30m =570m.
Igualando oferta e demanda:
570m =75\,000 \quad\Longrightarrow\quad m =\frac{75\,000}{570}\approx131{,}58\text{ g}.

Resposta

(a) Temperatura final T_f=100^{\circ}\text{C}, com 877,78 g de água líquida e 22,22 g de vapor em equilíbrio.
(b) Deve-se adicionar aproximadamente 131,58 g de vapor (a 100\circC) para terminar com somente água líquida a 70\circC.

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