Considere uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo. Partindo das equações de Maxwell, escritas na forma diferencial, podemos demonstrar que o campo elétrico \mathrm{E}(\mathrm{x}, \mathrm{t}) da luz satisfaz à seguinte equação diferencial parcial:
\left(\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}\right) \frac{\partial^{2} E(x, t)}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} E(x, t)}{\partial t^{2}}
onde as constantes \mu_{0} e \varepsilon_{0} são, respectivamente, a permeabilidade magnética do vácuo e a permissividade elétrica do vácuo. Uma solução possível para a equação de onda acima é dada por
E(x, t)=E_{m} \operatorname{sen}(k x-\omega t)
a) Substitua essa expressão na equação diferencial acima e mostre que
\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}=\left(\frac{\omega}{k}\right)^{2}
onde k e \omega (veja o formulário) são, respectivamente, o vetor de onda e a frequência angular da onda.
b) Mostre que a fórmula geral da velocidade de propagação de uma onda ( V=\lambda . f ) pode ser expressa da seguinte forma:
\mathrm{V}=\frac{\omega}{k}
c) Combinando os resultados dos itens (a) e (b) acima, mostre que a velocidade da luz no vácuo (expressa pela letra “c”) é dada pela expressão:
\text { Velocidade da luz }=\mathrm{c}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}
Encontre na literatura os valores das constantes que aparecem na expressão acima e verifique o valor da velocidade da luz no vácuo.

Passo 1

O enunciado parte da equação de onda para o campo elétrico em vácuo, obtida das equações de Maxwell em forma diferencial:
\frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\frac{\partial^{2}E(x,t)}{\partial x^{2}} =\frac{\partial^{2}E(x,t)}{\partial t^{2}}
e nos dá como proposta de solução
E(x,t)=E_{m}\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t\bigr).
Vamos usar derivação direta para encontrar a relação entre \omega e k, depois relacionar velocidade de fase e, por fim, obter
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas de segunda ordem da solução proposta. Primeiro em x:
\frac{\partial E}{\partial x} =E_{m}\,k\cos(kx-\omega t),
\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}} =-E_{m}\,k^{2}\operatorname{sen}(kx-\omega t).
Agora em t:
\frac{\partial E}{\partial t} =-E_{m}\,\omega\cos(kx-\omega t),
\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} =-E_{m}\,\omega\bigl(-\operatorname{sen}(kx-\omega t)\bigr) =E_{m}\,\omega^{2}\operatorname{sen}(kx-\omega t).
Substituindo na equação de onda:
\frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}} \bigl(-E_{m}k^{2}\operatorname{sen}(\cdot)\bigr) =E_{m}\,\omega^{2}\operatorname{sen}(\cdot).
Cancelando E_{m}\operatorname{sen}(\cdot)\neq0 de ambos os lados, obtemos
-\frac{k^{2}}{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=\omega^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\mu_{0}\varepsilon_{0}} =\biggl(\frac{\omega}{k}\biggr)^{2}.

Passo 3

A velocidade de fase V de uma onda é dada por
V=\lambda\,f.
Como \lambda=2\pi/k e f=\omega/(2\pi), tem-se
V=\frac{2\pi}{k}\cdot\frac{\omega}{2\pi} =\frac{\omega}{k}.

Passo 4

Do resultado do Passo 2 temos \omega/k=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}, e do Passo 3 \omega/k=V. Logo
V=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.
Identificando V com a velocidade da luz c em vácuo, segue
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}.

Passo 5

Valores em unidade SI (literatura): \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}, \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}.
Logo
c=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8{,}854\times10^{-12})}} \approx3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}\approx3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados