Considere uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo. Partindo das equações de Maxwell, escritas na forma diferencial, podemos demonstrar que o campo elétrico
da luz satisfaz à seguinte equação diferencial parcial:
onde as constantes
e
são, respectivamente, a permeabilidade magnética do vácuo e a permissividade elétrica do vácuo. Uma solução possível para a equação de onda acima é dada por
a) Substitua essa expressão na equação diferencial acima e mostre que
onde k e
(veja o formulário) são, respectivamente, o vetor de onda e a frequência angular da onda.
b) Mostre que a fórmula geral da velocidade de propagação de uma onda (
) pode ser expressa da seguinte forma:
c) Combinando os resultados dos itens (a) e (b) acima, mostre que a velocidade da luz no vácuo (expressa pela letra “c”) é dada pela expressão:
Encontre na literatura os valores das constantes que aparecem na expressão acima e verifique o valor da velocidade da luz no vácuo.
b) Mostre que a fórmula geral da velocidade de propagação de uma onda (
Passo 1
O enunciado parte da equação de onda para o campo elétrico em vácuo, obtida das equações de Maxwell em forma diferencial:
e nos dá como proposta de solução
Vamos usar derivação direta para encontrar a relação entre
e
, depois relacionar velocidade de fase e, por fim, obter
Passo 2
Calculemos as derivadas de segunda ordem da solução proposta. Primeiro em
:
Agora em
:
Substituindo na equação de onda:
Cancelando
de ambos os lados, obtemos
Passo 3
A velocidade de fase
de uma onda é dada por
Como
e
, tem-se
Passo 4
Do resultado do Passo 2 temos
, e do Passo 3
. Logo
Identificando
com a velocidade da luz
em vácuo, segue
Passo 5
Valores em unidade SI (literatura):
,
Logo
Logo