Exercício 3 Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo Y.
y=x^{2}-\frac{1}{8} \ln (x), 1 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva
y=x^{2}-\tfrac{1}{8}\ln(x), para 1\le x\le2, em torno do eixo Y.
O conteúdo aqui é o cálculo de área de superfície de revolução em torno do eixo Y.
Para isso, vamos usar a fórmula
S = \int_{a}^{b}2\pi x \,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y.
Temos
y = x^{2} - \frac{1}{8}\ln(x)
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y'(x) = 2x - \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x} =2x - \frac{1}{8x} =\frac{16x^{2}-1}{8x}.

Passo 3

Agora, montamos o radicando:
1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2} =1 + \frac{(16x^{2}-1)^{2}}{64x^{2}} =\frac{64x^{2} + (16x^{2}-1)^{2}}{64x^{2}}.
Como (16x^{2}-1)^{2}=256x^{4}-32x^{2}+1, somando 64x^{2} obtemos
256x^{4}+32x^{2}+1 = (16x^{2}+1)^{2}.
Portanto,
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}} =\frac{16x^{2}+1}{8x}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de S:
S = \int_{1}^{2}2\pi x \,\frac{16x^{2}+1}{8x}\;dx = \frac{2\pi}{8}\int_{1}^{2}(16x^{2}+1)\;dx = \frac{\pi}{4}\int_{1}^{2}(16x^{2}+1)\;dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int(16x^{2}+1)\;dx =\frac{16}{3}x^{3} + x.
Avaliada de 1 a 2:
\Bigl(\tfrac{16}{3}\cdot2^{3} + 2\Bigr) - \Bigl(\tfrac{16}{3}\cdot1^{3} + 1\Bigr) = \Bigl(\tfrac{128}{3}+2\Bigr)-\Bigl(\tfrac{16}{3}+1\Bigr) = \frac{134}{3}-\frac{19}{3} = \frac{115}{3}.
Multiplicando pelo fator \pi/4:
S = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{115}{3} = \frac{115\pi}{12}.

Resposta

A área da superfície é \displaystyle \frac{115\pi}{12}.

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