Exercício 2 Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo X.
y=\sqrt{16-x^{2}}, \quad-2 \leq x \leq 2,

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva
y = \sqrt{16 - x^2},\quad -2 \le x \le 2
em torno do eixo X. Esse é um problema de superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y = (16 - x^2)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{d}{dx}\,(16 - x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(16 - x^2)^{-1/2}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{16 - x^2}}.
Em seguida,
1 + \bigl(y'\bigr)^2 = 1 + \frac{x^2}{16 - x^2} = \frac{16 - x^2 + x^2}{16 - x^2} = \frac{16}{16 - x^2},
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\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2} = \frac{4}{\sqrt{16 - x^2}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula de S:
S = 2\pi \int_{-2}^{2} y\,\sqrt{1 + (y')^2}\,dx = 2\pi \int_{-2}^{2} \sqrt{16 - x^2}\;\frac{4}{\sqrt{16 - x^2}}\,dx = 2\pi \int_{-2}^{2} 4\,dx = 8\pi \int_{-2}^{2} 1\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{-2}^{2}1\,dx = 2 - (-2) = 4 \quad\Longrightarrow\quad S = 8\pi \times 4 = 32\pi.

Resposta

32\pi

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