(10 pts) Calcule a integral de linha
\oint_{\mathrm{C}}\left(-3 x^{2} y\right) d x+\left(3 x y^{2}\right) d y
onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=16 no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\oint_{C}\bigl(-3x^{2}y\bigr)\,dx + \bigl(3xy^{2}\bigr)\,dy
onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=16 orientada no sentido horário.
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial em curva fechada e uso do Teorema de Green (versão orientada).

Passo 2

Identificamos P(x,y)=-3x^{2}y e Q(x,y)=3xy^{2}. Calculamos as derivadas parciais que aparecem em Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}\bigr) =3y^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-3x^{2}y\bigr) =-3x^{2}.
Logo o “rotacional” é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3y^{2}-(-3x^{2}) =3(x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para orientação contrária à positiva (sentido horário) temos
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA =-\iint_{D}3(x^{2}+y^{2})\,dA,
onde D é o disco x^{2}+y^{2}\le16.

Passo 4

Para calcular
\iint_{D}3(x^{2}+y^{2})\,dA
usamos coordenadas polares: x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{D}3r^{2}\,r\,dr\,d\theta =3\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{4}r^{3}\,dr\,d\theta =3\cdot2\pi\cdot\frac{4^{4}}{4} =6\pi\cdot64 =384\pi.
Incluindo o sinal de Green, a integral de linha vale
-\;384\pi.

Resposta

-384\pi

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