(10 pts) Calcule a integral de linha
onde C é a circunferência
no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
onde
é a circunferência
orientada no sentido horário.
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial em curva fechada e uso do Teorema de Green (versão orientada).
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial em curva fechada e uso do Teorema de Green (versão orientada).
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais que aparecem em Green:
Logo o “rotacional” é
Passo 3
Pelo Teorema de Green, para orientação contrária à positiva (sentido horário) temos
onde
é o disco
.
Passo 4
Para calcular
usamos coordenadas polares:
e
. Assim
Incluindo o sinal de Green, a integral de linha vale