Resolver a integral pela técnica de integração por substituição
QUESTÃO 16. Calcule a integral \int_{3}^{4}\left(x^{2}-2 x\right) \cdot d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{4}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx
usando a técnica de integração por substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique o polinômio integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x - 1,
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du = dx.
Reescrevemos o integrando em função de u:
x^{2}-2x = (u+1)^{2}-2(u+1) = u^{2}+2u+1 -2u -2 = u^{2}-1.
Portanto
dx = du \quad\text{e}\quad x^{2}-2x = u^{2}-1.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração. Quando x=3, u=3-1=2. Quando x=4, u=4-1=3. Assim
\int_{3}^{4}\bigl(x^{2}-2x\bigr)\,dx = \int_{2}^{3}\bigl(u^{2}-1\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^{2}-1:
\int\bigl(u^{2}-1\bigr)\,du = \int u^{2}\,du - \int 1\,du = \frac{u^{3}}{3} - u.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites u=2 e u=3:
\left[\frac{u^{3}}{3}-u\right]_{2}^{3} = \Bigl(\frac{27}{3}-3\Bigr)\;-\;\Bigl(\frac{8}{3}-2\Bigr) = (9-3) - \Bigl(\tfrac{8}{3}-2\Bigr) = 6 - \frac{8}{3} + 2 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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