(10 pts) Uma superfície S é representada pela equação vetorial
\vec{r}(u, v)=(\sqrt{3} u, u \cos v, u \sin v), 1 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq \pi .
(a) (2 pts) Elimine os parâmetros u e v e determine a equação cartesiana da superfície.
(b) (8 pts) Determine a área de S .

Passo 1

O enunciado dá uma superfície parametrizada por
\vec r(u,v) = (\sqrt{3}\,u,\;u\cos v,\;u\sin v), \quad 1 \le u \le 2,\;0\le v\le \pi,
e pede:
(a) eliminar u,v e achar a equação cartesiana de S;
(b) calcular a área de S.
Conteúdo envolvido: superfícies paramétricas, mudança para coordenadas cartesianas e cálculo de área via \iint |\,\vec r_u\times\vec r_v|\,du\,dv.

Passo 2

Chamando as coordenadas de (x,y,z)=\vec r(u,v), temos
x = \sqrt{3}\,u,\quad y = u\cos v,\quad z = u\sin v.
Da primeira equação vem
u = \frac{x}{\sqrt{3}}.
Já da soma dos quadrados das outras duas,
y^2 + z^2 = u^2(\cos^2 v + \sin^2 v) = u^2.
Substituindo u^2 = x^2/3 obtém-se
y^2 + z^2 = \frac{x^2}{3},
ou seja
3\bigl(y^2 + z^2\bigr) = x^2,
que é a equação cartesiana do cone gerado por S.

Passo 3

Para a área, computamos os vetores parciais
\vec r_u = \bigl(\sqrt{3},\;\cos v,\;\sin v\bigr), \quad \vec r_v = \bigl(0,\;-u\sin v,\;u\cos v\bigr).
O produto vetorial é
\vec r_u \times \vec r_v = \bigl(u,\,-\sqrt{3}\,u\cos v,\,-\sqrt{3}\,u\sin v\bigr),
cuja norma vale
\bigl\lvert\vec r_u \times \vec r_v\bigr\rvert = \sqrt{u^2 +3u^2(\cos^2v+\sin^2v)} = \sqrt{4u^2} =2u.

Passo 4

O elemento de área é dS = \lvert\vec r_u\times\vec r_v\rvert\,du\,dv = 2u\,du\,dv.
Logo a área é
A = \int_{u=1}^{2}\int_{v=0}^{\pi} 2u\;dv\,du = \int_{1}^{2}2u\bigl[\pi\bigr]\,du =2\pi\int_{1}^{2}u\,du =2\pi\left[\frac{u^2}{2}\right]_{1}^{2} =\pi(4-1) =3\pi.

Resposta

(a) 3\bigl(y^2 + z^2\bigr) = x^2.
(b) A = 3\pi.

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