(10 pts) Calcule a integral de linha
onde C é a intersecção do cilindro
com o plano
e a sua projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva formada pela interseção do cilindro
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário da projeção em
. O conteúdo é parametrização de curvas em espaço e substituição na integral de linha.
Passo 2
Como a projeção de
em
é o círculo
no sentido anti-horário, parametricemos
com
.
Passo 3
Calculamos os diferenciais:
Também escrevemos
Passo 4
Agora montamos cada termo da integral:
Passo 5
Somando os termos obtemos o integrando
Agrupando e usando identidades:
Logo o integrando se torna
Passo 6
Integramos de
a
: