(10 pts) Calcule a integral de linha
\oint_{\mathrm{C}} y d x+(x+y+2 z) d y+\left(x z^{2}+2 y\right) d z
onde C é a intersecção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano z=y e a sua projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}y\,dx+(x+y+2z)\,dy+\bigl(xz^{2}+2y\bigr)\,dz
onde C é a curva formada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano z=y, percorrida no sentido anti-horário da projeção em xy. O conteúdo é parametrização de curvas em espaço e substituição na integral de linha.

Passo 2

Como a projeção de C em xy é o círculo x^{2}+y^{2}=4 no sentido anti-horário, parametricemos
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad z=y=2\sin t,
com t\in[0,2\pi].

Passo 3

Calculamos os diferenciais:
dx=-2\sin t\,dt,\quad dy=2\cos t\,dt,\quad dz=2\cos t\,dt.
Também escrevemos
P=y=2\sin t,\quad Q=x+y+2z=2\cos t+2\sin t+4\sin t=2\cos t+6\sin t,
R=xz^{2}+2y=2\cos t\,(2\sin t)^{2}+4\sin t=8\cos t\sin^{2}t+4\sin t.

Passo 4

Agora montamos cada termo da integral:
P\,dx=2\sin t\cdot(-2\sin t\,dt)=-4\sin^{2}t\,dt,
Q\,dy=(2\cos t+6\sin t)(2\cos t\,dt)=\bigl(4\cos^{2}t+12\sin t\cos t\bigr)\,dt,
R\,dz=(8\cos t\sin^{2}t+4\sin t)(2\cos t\,dt)=\bigl(16\cos^{2}t\sin^{2}t+8\sin t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 5

Somando os termos obtemos o integrando
-4\sin^{2}t+4\cos^{2}t+12\sin t\cos t+16\cos^{2}t\sin^{2}t+8\sin t\cos t.
Agrupando e usando identidades:
4\cos^{2}t-4\sin^{2}t=4\cos2t,\quad12\sin t\cos t+8\sin t\cos t=20\sin t\cos t=10\sin2t,
16\sin^{2}t\cos^{2}t=4\sin^{2}2t=2-2\cos4t.
Logo o integrando se torna
4\cos2t+10\sin2t+2-2\cos4t.

Passo 6

Integramos de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(4\cos2t+10\sin2t+2-2\cos4t\bigr)\,dt = \underbrace{\int_{0}^{2\pi}2\,dt}_{=4\pi} +\underbrace{\int_{0}^{2\pi}4\cos2t\,dt}_{=0} +\underbrace{\int_{0}^{2\pi}10\sin2t\,dt}_{=0} -\underbrace{\int_{0}^{2\pi}2\cos4t\,dt}_{=0} =4\pi.

Resposta

4\pi

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