(10 pts) Calcule a integral de superfície
\iint_{\mathrm{S}} x d y d z+y d z d x+z d x d y
onde S é a superfície exterior do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} limitada pelos planos z=-2 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,dy\,dz \;+\; y\,dz\,dx \;+\; z\,dx\,dy
onde S é a superfície exterior do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} entre z=-2 e z=2.
Reconhecemos que essa integral é o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (P,Q,R) = (x,y,z)
através de S com orientação para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que, para uma região volumétrica V limitada por S orientada externamente,
\iint_{S} F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Aqui F\cdot n\,dS corresponde exatamente a
x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy.

Passo 3

Calculemos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x) +\frac{\partial}{\partial y}(y) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =1+1+1=3.

Passo 4

Agora determinamos o volume V do cilindro de raio a e altura 4 (de z=-2 a z=2):
\text{Área da base} = \pi a^{2},\quad \text{altura} = 4 \quad\Longrightarrow\quad V = 4\pi a^{2}.Á

Passo 5

Pela Divergência,
\iint_{S} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy =\iiint_{V}3\,dV =3\cdot V =3\cdot (4\pi a^{2}) =12\pi a^{2}.

Resposta

12\pi a^{2}

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