(10 pts) Calcule a integral de superfície
onde S é a superfície exterior do cilindro
limitada pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a superfície exterior do cilindro
entre
e
.
Reconhecemos que essa integral é o fluxo do campo vetorial
Reconhecemos que essa integral é o fluxo do campo vetorial
através de
com orientação para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que, para uma região volumétrica
limitada por
orientada externamente,
Aqui
corresponde exatamente a
Passo 3
Calculemos a divergência de
:
Passo 4
Agora determinamos o volume
do cilindro de raio
e altura
(de
a
):
Passo 5
Pela Divergência,