Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{x-1}{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{x+1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais em que o grau do numerador é igual ao do denominador. Vamos usar divisão de polinômios para decompor a fração em parte polinomial mais parte simples, e em seguida aplicar a regra do logaritmo para integrar.

Passo 2

Fazendo a divisão de x-1 por x+1, obtemos
x - 1 = (x+1)\cdot 1 + (-2),
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\frac{x-1}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x-1}{x+1}\,dx = \int \Bigl(1 - \frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx \;-\; 2\int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 4

Usamos as integrais básicas:
\int 1\,dx = x, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\bigl|x+1\bigr|.
Portanto
\int \frac{x-1}{x+1}\,dx = x \;-\; 2\ln\bigl|x+1\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x - 2\ln\bigl|x+1\bigr| + C

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