é dada uma função em um intervalo 0<x<L.
a. Esboce os gráficos da extensão periódica par g(x) e da extensão periódica ímpar h(x) da função dada, ambas com período 2 L, em um intervalo de três períodos.
b. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos da função dada.
G c. Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada série.
G d. Para cada série, investigue a dependência em n do erro máximo em [0, L]. f(x)=x^{3}-5 x^{2}+5 x+1, \quad 0<x<3
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a função
f(x)=x^{3}-5x^{2}+5x+1,\quad 0<x<3,
e construir suas extensões periódicas de período 2L=6:
– a extensão par g(x), isto é, g(x+6)=g(x) e g(-x)=g(x);
– a extensão ímpar h(x), isto é, h(x+6)=h(x) e h(-x)=-h(x).
Depois de esboçar esses gráficos em três períodos, precisamos obter a série de Fourier em cossenos (para g) e em senos (para h), mostrar algumas somas parciais e estudar como o erro máximo em [0,3] depende de n.
Passo 2
Para desenhar g(x) e h(x) em três períodos (intervalo de comprimento 18), procedemos assim:
– Em (0,3) usamos f(x).
– Para a extensão par g, em (-3,0) plotamos f(|x|). Em cada intervalo de comprimento 6 repetimos esse trecho. O resultado é uma curva suave em (0,3) refletida em torno de x=0, repetida a cada 6. Em x=0 e x=3 aparecem “quinas” porque f'(0)\neq0 e f'(3)\neq0.
– Para a extensão ímpar h, em (-3,0) plotamos -f(|x|), e repetimos com período 6. A função troca sinal em x=0 e em x=3, gerando descontinuidades de valor nessas fronteiras.
Passo 3
Série em cossenos (extensão par). Como L=3, os coeficientes são
com N=5,10,20. Observa-se que S_{N}^{c} aproxima bem f já para N\sim10, e S_{N}^{s} precisa de mais termos para nível de erro similar.
Passo 6
Definindo o erro máximo
E_{N}=\max_{0\le x\le3}\bigl|f(x)-S_{N}(x)\bigr|,
verifica-se numericamente que
– para a série em cossenos E_{N}^{c}\sim C\,N^{-2} (coeficientes caem como 1/n^{2}),
– para a série em senos E_{N}^{s}\sim D\,N^{-1} (coeficientes decaem como 1/n).
Resposta
a) A extensão par é g(x)=f(|x|) periódica de período 6; a ímpar é h(x)=\operatorname{sgn}(x)\,f(|x|) também de período 6. Elas exibem quinas em x=k\cdot3.