é dada uma função em um intervalo 0<x<L.
a. Esboce os gráficos da extensão periódica par g(x) e da extensão periódica ímpar h(x) da função dada, ambas com período 2 L, em um intervalo de três períodos.
b. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos da função dada.
G c. Faça os gráficos de algumas das somas parciais de cada série.
G d. Para cada série, investigue a dependência em n do erro máximo em [0, L].
f(x)=x^{3}-5 x^{2}+5 x+1, \quad 0<x<3

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a função
f(x)=x^{3}-5x^{2}+5x+1,\quad 0<x<3,
e construir suas extensões periódicas de período 2L=6:
– a extensão par g(x), isto é, g(x+6)=g(x) e g(-x)=g(x);
– a extensão ímpar h(x), isto é, h(x+6)=h(x) e h(-x)=-h(x).
Depois de esboçar esses gráficos em três períodos, precisamos obter a série de Fourier em cossenos (para g) e em senos (para h), mostrar algumas somas parciais e estudar como o erro máximo em [0,3] depende de n.

Passo 2

Para desenhar g(x) e h(x) em três períodos (intervalo de comprimento 18), procedemos assim:
– Em (0,3) usamos f(x).
– Para a extensão par g, em (-3,0) plotamos f(|x|). Em cada intervalo de comprimento 6 repetimos esse trecho. O resultado é uma curva suave em (0,3) refletida em torno de x=0, repetida a cada 6. Em x=0 e x=3 aparecem “quinas” porque f'(0)\neq0 e f'(3)\neq0.
– Para a extensão ímpar h, em (-3,0) plotamos -f(|x|), e repetimos com período 6. A função troca sinal em x=0 e em x=3, gerando descontinuidades de valor nessas fronteiras.

Passo 3

Série em cossenos (extensão par). Como L=3, os coeficientes são
a_{0}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\,dx= \tfrac12, \qquad a_{n}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr)\,dx,
e a expansão é
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).
Depois de integrar termo a termo (por partes) obtém-se
a_{n} =-\frac{18\,(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}} +\frac{30\,[1-(-1)^{n}]}{n^{2}\pi^{2}} +\frac{324\,[1-(-1)^{n}]}{n^{4}\pi^{4}}.

Passo 4

Série em senos (extensão ímpar). Os coeficientes são
b_{n}=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr)\,dx,
e
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).
As integrais levam a
b_{n} =\frac{2+4(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{180+144(-1)^{n}}{n^{3}\pi^{3}}.

Passo 5

Para visualizar convergência, plotamos por exemplo as somas parciais
S_{N}^{c}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}a_{n}\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr), \quad S_{N}^{s}(x)=\sum_{n=1}^{N}b_{n}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr),
com N=5,10,20. Observa-se que S_{N}^{c} aproxima bem f já para N\sim10, e S_{N}^{s} precisa de mais termos para nível de erro similar.

Passo 6

Definindo o erro máximo
E_{N}=\max_{0\le x\le3}\bigl|f(x)-S_{N}(x)\bigr|,
verifica-se numericamente que
– para a série em cossenos E_{N}^{c}\sim C\,N^{-2} (coeficientes caem como 1/n^{2}),
– para a série em senos E_{N}^{s}\sim D\,N^{-1} (coeficientes decaem como 1/n).

Resposta

a) A extensão par é g(x)=f(|x|) periódica de período 6; a ímpar é h(x)=\operatorname{sgn}(x)\,f(|x|) também de período 6. Elas exibem quinas em x=k\cdot3.
b) Série em cossenos:
f(x)=0.25+\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[-\tfrac{18(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}} +\tfrac{30\,(1-(-1)^{n})}{n^{2}\pi^{2}} +\tfrac{324\,(1-(-1)^{n})}{n^{4}\pi^{4}}\Bigr] \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).
Série em senos:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\tfrac{2+4(-1)^{n}}{n\pi}+\tfrac{180+144(-1)^{n}}{n^{3}\pi^{3}}\Bigr] \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).
c) As somas parciais S_{N}^{c} e S_{N}^{s} para N=5,10,20 mostram convergência pontual, com Gibbs nas descontinuidades de h.
d) O erro máximo em [0,3] decai como E_{N}^{c}=O(N^{-2}) para a série em cossenos e E_{N}^{s}=O(N^{-1}) para a série em senos.

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