Determine se a série á absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n!}
ou seja, determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como os termos são todos positivos, basta verificar a convergência (que coincide com a absoluta) usando o teste da razão.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{n^{2}}{n!}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\tfrac{(n+1)^{2}}{(n+1)!}}{\tfrac{n^{2}}{n!}} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)} = \frac{n+1}{n^{2}} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Ao fazer n\to\infty, tem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 0 < 1.
Pelo teste da razão, isso garante que a série converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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