(10 pts) A série de Fourier de
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x+x^{2},-L<x<L \\\ L^{2}, x= \pm L \end{array}\right.
é
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\right]
Vale a igualdade a_{1}=\int_{-L}^{L} f(x) \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right) d x.
() V ( ) F

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} x+x^{2},&-L<x<L,\\\ L^{2},&x=\pm L, \end{cases}
e sua série de Fourier
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_{n}\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)+b_{n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\Bigr].
Pergunta-se se vale
a_{1}=\int_{-L}^{L}f(x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{L}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a definição dos coeficientes de Fourier.

Passo 2

Pela teoria de séries de Fourier em [-L,L], usamos as relações de ortogonalidade para definir
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx \quad\text{e}\quad b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Para n=1 essas fórmulas dão
a_{1}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{L}\Bigr)\,dx,
enquanto
b_{1}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{L}\Bigr)\,dx.

Passo 4

A igualdade proposta usa a integral de f(x) vezes \sin(\pi x/L) sem o fator 1/L, que sequer corresponde a a_{1} (é relacionada a b_{1} e ainda falta a normalização). Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

F

Exercícios relacionados