Nas questões 1), 2) e 3), abaixo, referir-se ao sistema regular de Sturm-Liouville
(10 pts) Vale a igualdade
.
( ) V ( ) F
( ) V ( ) F
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema de Sturm–Liouville
com condições de contorno
e
, e pergunta se vale
O conteúdo principal é encontrar os autovalores e autovetores desse problema e usar a propriedade de ortogonalidade dos autovetores.
Passo 2
Para resolver a equação diferencial escrevemos a solução geral
Impor
dá
, logo
Em seguida
e a condição
exige
, ou seja
Portanto os autovalores são
e os autovetores (autofunções) correspondentes são
Passo 3
Uma propriedade fundamental dos sistemas regulares de Sturm–Liouville é que, se
, então
No nosso caso os dois modos dados são
e como correspondem a
e
(autovalores distintos), têm integral ortogonal nula.
Resposta
V