Nas questões 1), 2) e 3), abaixo, referir-se ao sistema regular de Sturm-Liouville
\left\{\begin{array}{l} X^{\prime \prime}(x)=\lambda X(x)(0<x<L) \\\ X(0)=0=X^{\prime}(L) \end{array}\right.
(10 pts) Vale a igualdade \int_{0}^{L} \sin \left(\frac{\pi x}{2 L}\right) \sin \left(\frac{3 \pi x}{2 L}\right) d x=0.
( ) V ( ) F

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de Sturm–Liouville
X''(x)=\lambda\,X(x),\quad 0<x<L,
com condições de contorno X(0)=0 e X'(L)=0, e pergunta se vale
\int_{0}^{L}\sin\Bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\Bigr)\,\sin\Bigl(\tfrac{3\pi x}{2L}\Bigr)\,dx=0.
O conteúdo principal é encontrar os autovalores e autovetores desse problema e usar a propriedade de ortogonalidade dos autovetores.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial escrevemos a solução geral
X(x)=A\sin(\sqrt{\lambda}\,x)+B\cos(\sqrt{\lambda}\,x).
Impor X(0)=0 B=0, logo
X(x)=A\sin(kx),\quad k=\sqrt{\lambda}.
Em seguida X'(x)=A\,k\cos(kx) e a condição X'(L)=0 exige \cos(kL)=0, ou seja
kL=\frac{(2n-1)\pi}{2},\quad n=1,2,3,\dots
Portanto os autovalores são
\lambda_n=\Bigl(\frac{(2n-1)\pi}{2L}\Bigr)^{2}
e os autovetores (autofunções) correspondentes são
X_n(x)=\sin\!\Bigl(\frac{(2n-1)\pi}{2L}\,x\Bigr).

Passo 3

Uma propriedade fundamental dos sistemas regulares de Sturm–Liouville é que, se m\neq n, então
\int_{0}^{L}X_m(x)\,X_n(x)\,dx=0.
No nosso caso os dois modos dados são
X_1(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\Bigr), \quad X_2(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{3\pi x}{2L}\Bigr),
e como correspondem a n=1 e n=2 (autovalores distintos), têm integral ortogonal nula.

Resposta

V

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