(Extra) Seja f \in L^{2}(-\pi, \pi). Resolva os itens abaixo:
(a) (10 pts) Para N \in\{1,2, \cdots\} qualquer, mostre a validade da igualdade
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{|k| \leq N} \hat{f}(k) e^{i k t}\right|^{2} d t=\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2} d t-2 \pi \sum_{|k| \leq N}|\hat{f}(k)|^{2}
(b) (10 pts) Utilize a igualdade anterior, para justificar a validade da equivalência
O conteúdo principal é usar o espaço de Hilbert L^{2}(-\pi,\pi), a ortonormalidade da família \{e^{ikt}\}_{k\in\mathbb Z} e a expressão dos coeficientes de Fourier
o que, observando a constante na definição de \hat f(k), equivale ao desejado \displaystyle\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2}
=\tfrac{1}{4\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.