1. (Extra) Seja f \in L^{2}(-\pi, \pi). Resolva os itens abaixo:
    (a) (10 pts) Para N \in\{1,2, \cdots\} qualquer, mostre a validade da igualdade
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{|k| \leq N} \hat{f}(k) e^{i k t}\right|^{2} d t=\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2} d t-2 \pi \sum_{|k| \leq N}|\hat{f}(k)|^{2}
(b) (10 pts) Utilize a igualdade anterior, para justificar a validade da equivalência
\begin{gathered} \lim _{N \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{|k| \leq N} \hat{f}(k) e^{i k t}\right|^{2} d t=0 \\\ \mathbb{I} \\\ \sum_{k \in \mathbb{Z}}|\hat{f}(k)|^{2}=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para f\in L^{2}(-\pi,\pi) que
  1. (item a) mostremos
\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\Bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt-2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.
  1. (item b) a partir dessa igualdade, provemos a equivalência
\lim_{N\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\Bigr|^{2}dt=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\frac{1}{4\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.
O conteúdo principal é usar o espaço de Hilbert L^{2}(-\pi,\pi), a ortonormalidade da família \{e^{ikt}\}_{k\in\mathbb Z} e a expressão dos coeficientes de Fourier
\hat f(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}dt.

Passo 2

Para abreviar, definimos o produto interno
\langle g,h\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\,\overline{h(t)}\,dt,
e a norma \|g\|^{2}=\langle g,g\rangle. Seja
S_{N}(t)=\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}.
Então a quantidade do lado esquerdo do item (a) é
\|\,f-S_{N}\|^{2} =\langle f-S_{N},\,f-S_{N}\rangle =\|f\|^{2}-\langle f,S_{N}\rangle-\langle S_{N},f\rangle+\|S_{N}\|^{2}.

Passo 3

Vamos calcular cada termo usando ortonormalidade
\langle e^{ikt},e^{i\ell t}\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k-\ell)t}dt =2\pi\,\delta_{k\ell}.
  1. Produto cruzado:
\langle f,S_{N}\rangle =\sum_{|k|\le N}\hat f(k)\,\langle f,e^{ikt}\rangle =\sum_{|k|\le N}\hat f(k)\,\overline{\bigl(2\pi\,\hat f(k)\bigr)} =2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.
Como \langle S_{N},f\rangle=\overline{\langle f,S_{N}\rangle}, esse termo também vale 2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.

Passo 4

Norma de S_{N}:
\|S_{N}\|^{2} =\bigl\langle\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt},\, \sum_{|\ell|\le N}\hat f(\ell)e^{i\ell t}\bigr\rangle =\sum_{|k|,|\ell|\le N}\hat f(k)\,\overline{\hat f(\ell)}\, \langle e^{ikt},e^{i\ell t}\rangle =2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.

Passo 5

Substituindo em \|f\|^{2}-\langle f,S_{N}\rangle-\langle S_{N},f\rangle+\|S_{N}\|^{2}, obtemos
\|f-S_{N}\|^{2} =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt -2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2} -2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2} +2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2},
logo
\|f-S_{N}\|^{2} =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt -2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2},
que é exatamente o item (a).

Passo 6

Para o item (b), note que chamando
E_{N} =\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-S_{N}(t)\Bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt -2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2},
vemos que
E_{N}\xrightarrow[N\to\infty]{}0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2} \xrightarrow[N\to\infty]{}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.
Como o membro da direita converge para \displaystyle 2\pi\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2}, concluímos
\lim_{N\to\infty}E_{N}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\pi\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.
Reescrevendo, fica
\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt,
o que, observando a constante na definição de \hat f(k), equivale ao desejado \displaystyle\sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\tfrac{1}{4\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.

Resposta

(a)
\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\Bigr|^{2}dt =\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt-2\pi\sum_{|k|\le N}|\hat f(k)|^{2}.
(b)
\lim_{N\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl|f(t)-\sum_{|k|\le N}\hat f(k)e^{ikt}\Bigr|^{2}dt=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k\in\mathbb Z}|\hat f(k)|^{2} =\frac{1}{4\pi^{2}}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^{2}dt.

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