(3,5 pontos) Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=4 y_{1}+y_{2} \\\ y_{2}^{\prime}=-2 y_{1}+y_{2} \end{array}\right.
(a) (2,0 pts) Encontre a solução geral do sistema usando o método dos autovalores.
(b) \left(1,5\right. pts) Verifique que a solução satisfaz a condição inicial \mathbf{y}(0)=(2,-1)^{T} e determine a solução particular que satisfaz essa condição.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} y_{1}^{\prime}=4y_{1}+y_{2},\\\ y_{2}^{\prime}=-2y_{1}+y_{2}, \end{cases}
que em forma matricial é \mathbf{y}'=A\mathbf{y} com
A=\begin{pmatrix}4 & 1\\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para obter a solução geral.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\\\ -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot1 =\lambda^{2}-5\lambda+6.
As raízes de \lambda^{2}-5\lambda+6=0 são \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=3.

Passo 3

Para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0:
Para \lambda_{1}=2:
(A-2I)=\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -2 & -1\end{pmatrix},\quad 2v_{1}+v_{2}=0\implies v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=3:
(A-3I)=\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad v_{1}+v_{2}=0\implies v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
\mathbf{y}(t) =c_{1}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} +c_{2}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
onde c_{1} e c_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Passo 5

Impondo a condição inicial \mathbf{y}(0)=(2,-1)^{T}\), temos \[\mathbf{y}(0) =\begin{pmatrix}c_{1}+c_{2}\\\ -2c_{1}-c_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=2,\\\\ -2c_{1}-c_{2}=-1, \end{cases}
que tem solução c_{1}=-1\] e \(c_{2}=3.

Resposta

A solução particular que satisfaz \mathbf{y}(0)=(2,-1)^{T} é
\boxed{ \mathbf{y}(t) =-\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix} +3\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}, }
ou em componentes
y_{1}(t)=-e^{2t}+3e^{3t},\quad y_{2}(t)=2e^{2t}-3e^{3t}.

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