(3,5 pontos) Considere o sistema
(a) (2,0 pts) Encontre a solução geral do sistema usando o método dos autovalores.
(b)
pts) Verifique que a solução satisfaz a condição inicial
e determine a solução particular que satisfaz essa condição.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
que em forma matricial é
com
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para obter a solução geral.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
As raízes de
são
e
.
Passo 3
Para cada autovalor
resolvemos
:
Para
:
Para
:
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
onde
e
ã á
Passo 5
Impondo a condição inicial
Isto gera o sistema
que tem solução
.
Resposta
A solução particular que satisfaz
é
ou em componentes