Resolver a integral pela técnica de integração por substituição
QUESTÃO 15. Calcule a integral \int_{0}^{4}\left(x^{3}-x^{2}+1\right) \cdot d x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular \int_{0}^{4}(x^3 - x^2 + 1)\,dx. O conteúdo é integração de polinômios e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, encontrando uma primitiva de (x^3 - x^2 + 1).

Passo 2

Para achar a primitiva, integramos termo a termo. Lembrando que \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} e \int 1\,dx = x. Assim, obtemos
F(x) = \frac{x^4}{4} \;-\;\frac{x^3}{3} \;+\; x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{4}(x^3 - x^2 + 1)\,dx = F(4) \;-\; F(0).

Passo 4

Calculando F(4):
F(4) = \frac{4^4}{4} - \frac{4^3}{3} + 4 = 64 - \frac{64}{3} + 4 = 68 - \frac{64}{3} = \frac{204 - 64}{3} = \frac{140}{3}.
E F(0)=0. Logo o valor da integral é \frac{140}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{140}{3}

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