10)

Quão seguros podemos dizer que estaremos a menos de 1 unidade da verdadeira média de uma população se tomarmos uma amostra de 225 unidades com média e desvio padrão amostrais de 57 e 9 , respectivamente?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a probabilidade de que a média amostral \bar X fique a menos de 1 unidade da verdadeira média \mu de uma população, quando tomamos uma amostra de tamanho n=225 com desvio padrão amostral s=9. O conteúdo envolvido é o Teorema do Limite Central, que nos permite aproximar a distribuição de \bar X por uma Normal quando n é grande.

Passo 2

Pelo Teorema do Limite Central, \bar X é aproximadamente normal com média \mu e desvio padrão
s_{\bar X} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{9}{\sqrt{225}} = 0,6.

Passo 3

Queremos
P\bigl(|\bar X - \mu| < 1\bigr) = P\Bigl(-\frac{1}{0,6} < Z < \frac{1}{0,6}\Bigr) = P\bigl(|Z| < 1{,}667\bigr),
onde Z é uma Normal padrão.

Passo 4

Calculamos
P\bigl(|Z| < 1{,}667\bigr) = 2\,\Phi(1{,}667) - 1.
Da tabela da Normal, \Phi(1{,}667)\approx0{,}9522, logo
2 \times 0{,}9522 - 1 = 0{,}9044.

Resposta

A probabilidade de que a média amostral fique a menos de 1 unidade da média verdadeira é de aproximadamente 90,44 %.

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