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QUESTÃO: Calcule a integral dupla:
\iint \frac{y}{D} d A, D={(x, y) ; 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \sin (x)};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de ,y sobre a região
D = (x,y)mid 0 <= x <= pi,;0 <= y <= sin(x)
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas sobre uma região elementar em que y varia entre duas funções de x.

Passo 2

Como a região D está descrita por 0<= x<= pi e, para cada x, 0<= y<= sin(x), vamos integrar primeiro em y e depois em x. Assim,
integral duplaD y,dA = integralx=0^pil(integraly=0^sin(x)y,dyr),dx

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
integral0^sin(x)y,dy = [y^22]0^sin(x) = (sin(x))^22
Logo a integral dupla fica
integral duplaD y,dA = integral0^pisin^2(x)2,dx = 12integral0^pisin^2(x),dx

Passo 4

Use a identidade de redução sin^2(x)=tfrac1-cos(2x)2. Então
integral0^pisin^2(x),dx = integral0^pi1-cos(2x)2,dx = 12integral0^pi1,dx - 12integral0^picos(2x),dx
A primeira parte é tfrac12cdotpi e a segunda parte zera, pois
integral0^picos(2x),dx = l[tfracsin(2x)2r]0^pi=0.
Logo
integral0^pisin^2(x),dx = pi2

Passo 5

Substituindo em
12integral0^pisin^2(x),dx, obtemos
12cdotpi2 = pi4

Resposta

pi4

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