Encontre a solução geral da EDO dada e determine o comportamento das soluções quando t +infty.
d yd x=1x cos y+sin 2 y,

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
dydx=1xcos y+sin2y,
e pede a solução geral e o comportamento das soluções quando xto+infty.
Perceba que podemos inverter essa relação e ver x como função de y. Isso leva a uma EDO linear em x(y).

Passo 2

Invertendo, obtemos
dxdy=xcos y+sin2y
Escrevemos na forma padrão de equação linear:
dxdy-l(cos yr),x=sin2y
O fator integrante é
mu(y)=expl(-integralcos y,dyr)=e^-sin y
Multiplicando a EDO por mu(y) e integrando:
ddyl(x,e^-sin yr) =e^-sin y,sin2y
Calculamos a integral
integral e^-sin ysin2y,dy
fazendo u=-sin y, du=-cos y,dy e sin2y=2sin ycos y. O resultado é
integral e^-sin ysin2y,dy=-2l(sin y+1r)e^-sin y+K

Passo 3

Voltando à solução geral:
x,e^-sin y=-2(sin y+1)e^-sin y+C Longrightarrow x=C,e^sin y-2l(sin y+1r)
Essa é a forma explícita de x em função de y.
Equivalentemente, a solução implícita geral é
x+2l(sin y+1r)=C,e^sin y

Passo 4

Para xto+infty não há como manter sin y num valor finito, pois o termo C,e^sin y está limitado a Ce. Logo, para qualquer constante finita C a solução só existe enquanto
-1<=sin y<=1 Longrightarrow x<= C,e-4
Quando x se aproxima do valor máximo
xmax=C,e-4,
temos sin yto1, isto é,
ylongrightarrowpi2
Assim, as soluções não se estendem até x=+infty, mas atingem uma “singularidade” em y=pi/2 para um x finito.

Resposta

x + 2\left(\sin y + 1\right) = C \cdot e^{\sin y}, e as solu\c{c}~oes ``explodem’’ em y to pi2 quando x to C e^-4, sem chegar a x to +infty.

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