Encontre a solução geral da EDO dada e determine o comportamento das soluções quando
.
,
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede a solução geral e o comportamento das soluções quando
.
Perceba que podemos inverter essa relação e ver como função de
. Isso leva a uma EDO linear em
.
Perceba que podemos inverter essa relação e ver
Passo 2
Invertendo, obtemos
Escrevemos na forma padrão de equação linear:
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
e integrando:
Calculamos a integral
fazendo ,
e
. O resultado é
fazendo
Passo 3
Voltando à solução geral:
Essa é a forma explícita de
em função de
.
Equivalentemente, a solução implícita geral é
Equivalentemente, a solução implícita geral é
Passo 4
Para
não há como manter
num valor finito, pois o termo
está limitado a
. Logo, para qualquer constante finita
a solução só existe enquanto
Quando
se aproxima do valor máximo
temos
, isto é,
Assim, as soluções não se estendem até
, mas atingem uma “singularidade” em
para um
finito.
Resposta
x + 2\left(\sin y + 1\right) = C \cdot e^{\sin y}, e as solu\c{c}~oes ``explodem’’ em
quando
, sem chegar a
.