Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros.
1,79292 92

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número periódico
1,7929292=1.792929292ldots
(a) como uma série infinita e (b) como quociente de dois inteiros. O conteúdo é conversão de decimal periódico em série geométrica e soma dessa série.

Passo 2

Chamemos
x=1.792929292ldots
Aqui a parte não periódica são os três primeiros dígitos decimais “792”, e a repetição “92” começa a partir do quarto decimal. Podemos separar
x=1+710+910^2+210^3 +sumk=1^infty9210^3+2k

Passo 3

Na soma infinita temos uma série geométrica de primeiro termo
a1=9210^5
e razão
r=110^2
Logo
sumk=1^infty9210^3+2k =sumk=1^inftya1,r^,k-1 =a11-r =tfrac9210^51-tfrac110^2 =tfrac92100000tfrac99100 =9299000
Portanto a série infinita completa é
x =1+710+910^2+210^3 +sumk=1^infty9210^3+2k

Passo 4

Somando a parte finita:
1+710+910^2+210^3 =1+79210^3 =17921000,
e acrescentando a parte periódica:
x=17921000+9299000 =1792cdot99+9299000 =177408+9299000 =17750099000 =355198

Resposta

(a) 1,7929292 =1+710+910^2+210^3 +sumk=1^infty9210^3+2k
(b) 355198

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