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QUESTÃO: Calcule a integral dupla:
\int_{D} \int y^{2} d A, D={(x, y) ;-1 \leq y \leq 1,-y-2 \leq x \leq y};

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla
integral duplaD y^2,dA,
onde o domínio D é dado por
-1 <= y <= 1, -y-2 <= x <= y
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Aplicando Fubini, escrevemos
integral duplaD y^2,dA =integraly=-1^1l(integralx=-y-2^yy^2,dxr)dy
Como y^2 é constante em relação a x, temos
integralx=-y-2^yy^2,dx =y^2l[xr]x=-y-2^y =y^2l(y -(-y-2)r)

Passo 3

Simplificando o comprimento do intervalo em x,
y -(-y-2)=2y+2,
logo a integral interna fica
integralx=-y-2^yy^2,dx =y^2(2y+2) =2y^3+2y^2

Passo 4

Agora integramos em y de -1 a 1:
integral-1^1(2y^3+2y^2),dy =2integral-1^1y^3,dy +2integral-1^1y^2,dy
A parte ímpar some por simetria:
integral-1^1y^3,dy=0
Calculando a parte par,
2integral-1^1y^2,dy =2l[tfracy^33r]-1^1 =2l(tfrac13-tfrac-13r) =2cdottfrac23 =tfrac43

Resposta

integral duplaDy^2,dA = tfrac43

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