Encontre a solução geral da EDO dada e determine o comportamento das soluções quando
.
,
Passo 1
O enunciado dá a EDO
com variável independente
e pede a solução geral e o comportamento de
quando
. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem em
, que podemos escrever na forma padrão
Passo 2
Reescrevendo a equação original em forma padrão, isolamos
:
Passo 3
O fator integrante é
que, para
, tomamos como
. Multiplicando a EDO por
obtemos
Passo 4
Integramos em ambos os lados:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
, a solução geral é
Passo 5
Para estudar o comportamento quando
, note que o termo dominante em
é
. Logo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Resposta
A solução geral é
e, quando
,
diverge com sinal de
(cresce como
; se
,
).