Encontre a solução geral da EDO dada e determine o comportamento das soluções quando t +infty.
(x+3 y)-x d yd x=0,

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(x+3y)-xdydx=0
com variável independente x e pede a solução geral e o comportamento de y quando xto+infty. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem em y(x), que podemos escrever na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x)

Passo 2

Reescrevendo a equação original em forma padrão, isolamos tfracdydx:
xdydx=x+3y Longrightarrow dydx=;1+3yx Longrightarrow dydx-3x,y=1

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral -tfrac3xdxr) =exp(-3ln|x|) =|x|^-3,
que, para xneq0, tomamos como mu(x)=x^-3. Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
x^-3dydx-3x^-4y =;x^-3 Long<=ftrightarrow ddxl(x^-3yr)=x^-3

Passo 4

Integramos em ambos os lados:
x^-3y=integral x^-3dx =integral x^-3dx =-12x^2+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x^3, a solução geral é
y(x)=C,x^3-12,x

Passo 5

Para estudar o comportamento quando xto+infty, note que o termo dominante em
y(x)=C,x^3-12,x
é C,x^3. Logo:
  • Se C>0, então y(x)to+infty.
  • Se C<0, então y(x)to-infty.
  • Se C=0, então y(x)=-tfrac12xto-infty.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C,x^3-12,x,
e, quando xto+infty, y(x) diverge com sinal de C (cresce como C,x^3; se C=0, ysim -tfrac12xto-infty).

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