5 ^a QUESTÃO: Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x+6 y- 2 z+15=0 e acima do retângulo R=(x, y) ;-1 <= x <= 2,-1 <= y <= 1.
6^a QUESTÃO: Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z=3 y^2-x^2+2 e acima do retângulo R=(x, y) ;-1 <= x <= 1,-2 <= y <= 2.

Passo 1

Estamos lidando com volume de sólidos definidos sobre regiões retangulares no plano xy e limitados acima por superfícies dadas. O método é montar uma integral dupla da função que descreve a altura (a superfície z=f(x,y)) sobre a região R e calcular
V = integral duplaR f(x,y),dA

Passo 2

Para a 5ª questão, o plano é dado por
4x + 6y - 2z + 15 = 0
isolando z temos
z = 2x + 3y + 152
A base é o retângulo
R = (x,y)mid -1<= x<=2,,-1<= y<=1
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V1 = integralx=-1^2integraly=-1^1l(2x + 3y + tfrac152r),dy,dx

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
integraly=-1^1l(2x + 3y + tfrac152r),dy =2xl[yr]-1^1+3l[tfracy^22r]-1^1+tfrac152l[yr]-1^1 =4x+0+15 =4x+15

Passo 4

Agora a integral em x:
V1 = integral-1^2(4x+15),dx =l[2x^2+15xr]-1^2 =(2cdot4+15cdot2)-(2cdot1+15cdot(-1)) =(8+30)-(2-15) =38-(-13) =51

Passo 5

Para a 6ª questão, a superfície é o paraboloide hiperbólico
z = 3y^2 - x^2 + 2,
e a base
R = (x,y)mid -1<= x<=1,,-2<= y<=2
Assim
V2 = integralx=-1^1integraly=-2^2l(3y^2 - x^2 + 2r),dy,dx

Passo 6

Integral interna em y:
integral-2^2(3y^2 - x^2 + 2),dy =3l[tfracy^33r]-2^2-x^2l[yr]-2^2+2l[yr]-2^2 =16-4x^2+8 =24-4x^2

Passo 7

Integral externa em x:
V2 = integral-1^1(24-4x^2),dx =l[24x-tfrac4x^33r]-1^1 =(24- tfrac43)-(-24+tfrac43) =48-tfrac83 =tfrac1363

Resposta

(a) 51
(b) 1363

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