10ª QUESTÃO

Dadas as funções:
f(x)=\frac{x^{4}-3 x^{2}+x}{x^{3}-x+2}, g(x)=x^{4}+x^{5} \text { e } h(x)=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{4}-3 x^{2}+x}{x^{3}-x+2}\right)=\infty
II. \lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{4}+x^{5}\right)=-\infty
III. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x\right)=-1
É correto o que se afirma em:

ALTERNATIVAS

I apenas.
II apenas.
I e II apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x)=\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2},\quad g(x)=x^{4}+x^{5},\quad h(x)=\sqrt{9x^{2}+x}-3x
e pede para analisar as afirmativas sobre os limites em x\to\infty ou x\to-\infty. Vamos usar: para funções racionais, o comportamento é dado pelos termos de maior grau; para polinômios, pelo termo dominante; e para expressões com raiz, podemos racionalizar ou usar expansão.

Passo 2

Analisando I:
\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}-3x^{2}+x}{x^{3}-x+2}.
Como o numerador cresce como x^{4} e o denominador como x^{3}, o quociente cresce como
\frac{x^{4}}{x^{3}}=x\to\infty.
Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II:
\lim_{x\to-\infty}g(x) =\lim_{x\to-\infty}\bigl(x^{4}+x^{5}\bigr) =\lim_{x\to-\infty}x^{5}\bigl(1+\tfrac1{x}\bigr).
Para x\to-\infty, x^{5}\to-\infty domina e o fator (1+1/x)\to1. Portanto o limite é -\infty e a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 4

Analisando III, com racionalização:
h(x)=\sqrt{9x^{2}+x}-3x =\frac{\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}-3x\bigr)\bigl(\sqrt{9x^{2}+x}+3x\bigr)}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} =\frac{9x^{2}+x-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x} =\frac{x}{\sqrt{9x^{2}+x}+3x}.
Para x\to\infty, \sqrt{9x^{2}+x}\sim3x, então o denominador \sim6x e
\lim_{x\to\infty}h(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{x}{6x} =\frac16.
Isso mostra que a afirmativa III (dizendo que o limite é -1) é falsa.

Passo 5

Das três afirmativas, só I e II são verdadeiras.

Resposta

I e II apenas.

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