Dadas as funções:
f(x)=\left(x^{4}+3 x^{2}-2\right)^{5}, g(x)=\sqrt[4]{1+2 x+x^{3}} \text { e h }(x)=\frac{1}{\left(x^{4}+1\right)^{3}}
Analise as afirmativas seguintes.
I. f^{\prime}(x)=10 x\left(x^{4}+3 x^{2}-2\right)^{4}\left(2 x^{2}+3\right)
II. g^{\prime}(x)=\frac{2+3 x^{2}}{4\left(1+2 x+x^{3}\right)^{3 / 4}}
III. h^{\prime}(x)=-\frac{12 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{4}}
É correto o que se afirma em:

ALTERNATIVAS

I apenas.
II apenas.
I e II apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x) = \bigl(x^{4} + 3x^{2} - 2\bigr)^{5},\quad g(x) = \sqrt[4]{1 + 2x + x^{3}},\quad h(x) = \frac{1}{\bigl(x^{4}+1\bigr)^{3}}
e pede para verificar três fórmulas de derivada. Vamos usar a regra da cadeia em cada caso.

Passo 2

Para f(x), seja u(x)=x^{4}+3x^{2}-2. Então f(x)=u(x)^{5} e
u'(x)=4x^{3}+6x=2x\,(2x^{2}+3).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=5\,u(x)^{4}\,u'(x) =5\,(x^{4}+3x^{2}-2)^{4}\cdot\bigl(2x\,(2x^{2}+3)\bigr) =10x\,(2x^{2}+3)\,(x^{4}+3x^{2}-2)^{4}.
Isso coincide com a afirmação I.

Passo 3

Para g(x), escrevemos g(x)=(v(x))^{1/4} com v(x)=1+2x+x^{3}. Então
v'(x)=2+3x^{2} \quad\text{e}\quad g'(x)=\frac{1}{4}\,v(x)^{-3/4}\,v'(x) =\frac{2+3x^{2}}{4\,(1+2x+x^{3})^{3/4}}.
Isso confirma a afirmação II.

Passo 4

Para h(x), note que h(x)=(x^{4}+1)^{-3}. Seja w(x)=x^{4}+1, logo w'(x)=4x^{3}. Pela cadeia,
h'(x)=-3\,w(x)^{-4}\,w'(x) =-3\,(x^{4}+1)^{-4}\cdot4x^{3} =-\frac{12x^{3}}{(x^{4}+1)^{4}}.
Isso confirma a afirmação III.

Passo 5

Concluímos que todas as três expressões estão corretas simultaneamente.

Resposta

I, II e III.

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