2ª QUESTÃO

Dadas as funções:
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}, g(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x-2} e h(x)=\frac{\sqrt{4 x+1}-3}{x-2}.
Analise as afirmativas seguintes.
I. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}\right)=\frac{1}{6}
II. \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{x^{2}+x-6}{x-2}\right)=5
III. \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{\sqrt{4 x+1}-3}{x-2}\right)=\frac{2}{3}
É correto o que se afirma em:

ALTERNATIVAS

I apenas.

II apenas.
I e II apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado nos dá três funções
\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}},
\displaystyle g(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x-2} e
\displaystyle h(x)=\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2},
e pede para verificar a verdade das afirmações sobre os limites
\lim_{x\to0}f(x), \lim_{x\to2}g(x) e \lim_{x\to2}h(x).
Vamos usar técnicas de racionalização e fatoração para calcular cada limite.

Passo 2

Para \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}, fazemos a racionalização multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x^{2}+9}+3:
\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}} =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+9}-3\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+9}+3\bigr)}{x^{2}\bigl(\sqrt{x^{2}+9}+3\bigr)} =\frac{x^{2}}{x^{2}\bigl(\sqrt{x^{2}+9}+3\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}.
Ao x\to0, \sqrt{x^{2}+9}\to3, logo
\lim_{x\to0}f(x) =\frac{1}{3+3} =\frac{1}{6}.

Passo 3

Para \lim_{x\to2}g(x)=\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}, fatoramos o numerador:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3),
então
\frac{x^{2}+x-6}{x-2} =\frac{(x-2)(x+3)}{x-2} =x+3.
Ao x\to2, isso vale
\lim_{x\to2}g(x)=2+3=5.

Passo 4

Para \lim_{x\to2}h(x)=\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}, racionalizamos multiplicando por \sqrt{4x+1}+3:
\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2} =\frac{(4x+1)-9}{(x-2)\bigl(\sqrt{4x+1}+3\bigr)} =\frac{4(x-2)}{(x-2)\bigl(\sqrt{4x+1}+3\bigr)} =\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}.
Ao x\to2, \sqrt{4\cdot2+1}=\sqrt{9}=3, então
\lim_{x\to2}h(x) =\frac{4}{3+3} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}.

Passo 5

As três afirmações resultaram em
I. \displaystyle\frac{1}{6} (verdadeira),
II. 5 (verdadeira) e
III. \displaystyle\frac{2}{3} (verdadeira).

Resposta

I, II e III.

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