4ạ QUESTÃO

Dadas as funções:
f(x)=3 x^{2}-2 \cdot \cos (x), g(x)=x^{3} \cdot \cos (x) \text { e } h(x)=\frac{x \cdot \operatorname{sen}(x)}{1+x} .
Assim, z(x)=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x) é igual a:

ALTERNATIVAS

\begin{aligned} & z(x)=6 x+2 \cdot \operatorname{sen}(x)+\frac{\left(x^{2}+x\right) \cdot \cos (x)+\operatorname{sen}(x)}{(1+x)^{2}} \cdot \\\ & z(x)=6 x+2 \cdot \operatorname{sen}(x)+3 x^{2} \cdot \cos (x)-x^{3} \cdot \operatorname{sen}(x) \cdot \\\ & z(x)=3 x^{2} \cdot \cos (x)-x^{3} \cdot \operatorname{sen}(x)+\frac{\left(x^{2}+x\right) \cdot \cos (x)+\operatorname{sen}(x)}{(1+x)^{2}} \cdot \\\ & z(x)=2 \cdot \operatorname{sen}(x)+3 x^{2} \cdot \cos (x)-x^{3} \cdot \operatorname{sen}(x)+\frac{\left(x^{2}+x\right) \cdot \cos (x)+\operatorname{sen}(x)}{(1+x)^{2}} \cdot \\\ & z(x)=6 x+2 \cdot \operatorname{sen}(x)+3 x^{2} \cdot \cos (x)-x^{3} \cdot \operatorname{sen}(x)+\frac{\left(x^{2}+x\right) \cdot \cos (x)+\operatorname{sen}(x)}{(1+x)^{2}} \cdot \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=3x^{2}-2\cos(x),\quad g(x)=x^{3}\cos(x),\quad h(x)=\frac{x\,\sin(x)}{1+x}
e pede z(x)=f'(x)+g'(x)+h'(x). Vamos calcular cada derivada usando regra de potência, produto e quociente.

Passo 2

Derivada de f(x)=3x^{2}-2\cos(x):
a derivada de 3x^{2} é 6x e a de -2\cos(x) é -2)(-\sin(x))=2\sin(x). Logo
f'(x)=6x+2\sin(x).

Passo 3

Derivada de g(x)=x^{3}\cos(x) (regra do produto):
g'(x)=\bigl(x^{3}\bigr)'\cos(x)+x^{3}\bigl(\cos(x)\bigr)' =3x^{2}\cos(x)+x^{3}\bigl(-\sin(x)\bigr) =3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x).

Passo 4

Derivada de h(x)=\dfrac{x\,\sin(x)}{1+x} (regra do quociente):
h'(x) =\frac{\bigl(x\sin(x)\bigr)'(1+x)-(x\sin(x))\cdot1}{(1+x)^{2}}.
Como \bigl(x\sin(x)\bigr)'=\sin(x)+x\cos(x), o numerador fica
(\sin(x)+x\cos(x))(1+x)-x\sin(x) =\sin(x)+x\sin(x)+x\cos(x)+x^{2}\cos(x)-x\sin(x) =\sin(x)+(x^{2}+x)\cos(x).
Portanto
h'(x)=\frac{(x^{2}+x)\cos(x)+\sin(x)}{(1+x)^{2}}.

Passo 5

Somando
z(x)=f'(x)+g'(x)+h'(x) =6x+2\sin(x)+3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x) +\frac{(x^{2}+x)\cos(x)+\sin(x)}{(1+x)^{2}}.
Isso coincide com a última alternativa.

Resposta

z(x)=6x+2\sin(x)+3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x)+\dfrac{(x^{2}+x)\cos(x)+\sin(x)}{(1+x)^{2}}.

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