Dadas as funções:
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1}, g(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{3}-1} \mathrm{e} h(x)=\frac{e^{2 x}-1}{\operatorname{sen} x} .
Usando a regra de L’Hôspital, quando for apropriado, analise as afirmativas seguintes.
I. \lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{x^{2}-1}{x+1}\right)=-2
II. \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x^{3}-1}\right)=-\frac{1}{3}
III. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{2 x}-1}{\operatorname{sen} x}\right)=2
É correto o que se afirma em:

ALTERNATIVAS

apenas.
II apenas.
I e II apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado pede para analisar três limites:
I. \displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-1}{x+1}
II. \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{3}-1}
III. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin x}
Usaremos simplificações algébricas quando possível e, sempre que surgir a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, aplicaremos a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para I, note que
\frac{x^{2}-1}{x+1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} =x-1
para x\neq -1. Assim
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-1}{x+1} =\lim_{x\to -1}(x-1) =-1-1 =-2.
Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Para II, ao substituir x=1 temos \tfrac{0}{0}, então aplicamos L’Hôpital:
derivada do numerador: 3x^{2}-4x
derivada do denominador: 3x^{2}
\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{3}-1} =\lim_{x\to 1}\frac{3x^{2}-4x}{3x^{2}} =\frac{3-4}{3} =-\frac{1}{3}.
Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Para III, ao substituir x=0 obtemos \tfrac{0}{0}, daí L’Hôpital:
derivada do numerador: 2e^{2x}
derivada do denominador: \cos x
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin x} =\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{\cos x} =\frac{2}{1} =2.
Logo, a afirmativa III também é verdadeira.

Passo 5

Como I, II e III são verdadeiras, a alternativa correta é “I, II e III”.

Resposta

I, II e III.

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