(10^{a}) Questão- a) Deduza a seguinte expressão para a intensidade produzida por três fendas igualmente espaçadas quando iluminada por uma fonte coerente monocromática ( despreze o efeito da difração ( \mathrm{a} \ll \lambda ) :
(I=\frac{1}{9} I_{\max }\left(1+4 \operatorname{Cos}(\varphi)+4 \operatorname{Cos}^{2}(\varphi)\right)); onde: (\varphi=\frac{2 \pi d \operatorname{Sen}(\theta)}{\lambda})
b) Qual a modificação que devemos fazer na expressão acima para introduzir os efeitos da difração que ocorre em cada fenda ( (a>\lambda) )? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a expressão da intensidade de interferência de três fendas igualmente espaçadas iluminadas por luz coerente monocromática, desprezando difração (a ≪ λ). Estamos no contexto de interferência de múltiplas fendas, e vamos usar soma de fasores e identidades trigonométricas para chegar a

Passo 2

A diferença de fase entre fendas adjacentes vale φ = 2πdsinθλ. Assim o campo elétrico de cada fenda pode ser escrito como E₁=E₀, E₂=E₀ e^{iφ}, E₃=E₀ e^{i2φ}.
Somando os três campos obtemos E_total = E₀(1 + e^{iφ} + e^{i2φ}). Reconhecemos uma série geométrica de três termos e aplicamos a fórmula
1 + e^iφ + e^i2φ = e^iφsin(3φ/2)sin(φ/2)

Passo 3

A intensidade é proporcional ao módulo quadrado do campo: I = |E_total|² e, no máximo (φ=0), E_total=3E₀, logo I_max = (3E₀)². Assim
I = E₀²l|1 + e^iφ + e^i2φr|² = E₀² l(sin(3φ/2)sin(φ/2)r)² = Imax,19l(sin(3φ/2)sin(φ/2)r)²²²²²²
Usando a identidade sin(3x/2)sin(x/2) = 1 + 2cos x e elevando ao quadrado, chegamos a
I = 19Imaxl(1 + 4cosφ + 4cos^2φr), φ=2πdsinθλ

Passo 4

Para incluir o efeito de difração de cada fenda (a ≳ λ), basta multiplicar o termo de interferência pelo fator de difração de fenda única, que é (sinβ/β)²² com β=πasinθλ. Isso ocorre porque cada fenda tem padrão de difração que modula o padrão de interferência.

Resposta

a) I = 19Imaxl(1 + 4cosφ + 4cos^2φr), φ=2πdsinθλ
b) Multiplica-se por (sinβ/β)²², com β=πasinθλ, obtendo
I = 19Imaxl(1 + 4cosφ + 4cos^2φr)l(sinββr)^2

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