(10%) Questão 2. Determine m e p na equação (m-p) x^2+(m-2) x-4=0 para que haja duas raízes reais e simétricas.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
(m-p)x^2+(m-2)x-4=0
e pede que ela tenha duas raízes reais e simétricas (isto é, da forma alpha e -alpha). Para isso, precisamos usar dois fatos da teoria de equações quadráticas:
  1. A soma das raízes é zero, pois alpha+(-alpha)=0.
  2. As raízes são reais e distintas, o que exige discriminante positivo.

Passo 2

Pela soma das raízes em uma equação ax^2+bx+c=0, temos
alpha + (-alpha) = -ba = 0
No nosso caso a=m-p e b=m-2. Logo
-m-2,m-p, = 0
implica numerador nulo, ou seja
m-2 = 0 Longrightarrow m = 2

Passo 3

Substituindo m=2 na equação, ela fica
(2-p)x^2 - 4 = 0

Passo 4

Para que as raízes sejam reais e distintas, o discriminante deve ser positivo:
De<a = b^2 - 4ac = 0^2 - 4,(2-p),(-4) = 16,(2-p) > 0
daí
2-p > 0 Longrightarrow p < 2

Passo 5

Também é preciso que o coeficiente de x^2 seja não nulo, ou seja 2-pneq0. Mas isso já está garantido por p<2.

Resposta

m = 2 e p < 2

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