(10%) Questão 3. Resolva as seguintes inequações e represente geometricamente suas soluções:
(b) x^2+3 x-10x^2+4 x+3<0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2+3x-10x^2+4x+3<0
ou seja, encontrar os valores de x que tornam essa fração negativa. Para isso vamos precisar de fatoração e de um estudo de sinais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+3x-10 = (x+5)(x-2),
x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)
Logo a expressão é
(x+5)(x-2)(x+1)(x+3),
com restrição de domínio xneq -1 e xneq -3.

Passo 3

Os pontos que anulam numerador ou denominador são
x=-5,;-3,;-1,;2,
em ordem crescente. Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos:
1. Em (-infty,-5): todos os fatores x+5, x-2, x+3 e x+1 são negativos. Numerador =(-)cdot(-)=+. Denominador =(-)cdot(-)=+. Fração >0.
2. Em (-5,-3): aqui x+5>0, x-2<0, x+3<0, x+1<0. Numerador =(+)cdot(-)=-. Denominador =(-)cdot(-)=+. Fração <0.
3. Em (-3,-1): x+5>0, x-2<0, x+3>0, x+1<0. Numerador (+)cdot(-)=-. Denominador (+)cdot(-)=-. Fração >0.
4. Em (-1,2): x+5>0, x-2<0, x+3>0, x+1>0. Numerador =-. Denominador =+. Fração <0.
5. Em (2,infty): todos os fatores são positivos, logo fração >0.

Passo 4

A inequação exige fração negativa, portanto escolhemos os intervalos onde o sinal é <0. São:
(-5,-3)e(-1,2)

Passo 5

Geometricamente, na reta real marcamos -5,-3,-1,2 com círculos abertos (pois nem zeros do numerador nem pontos de descontinuidade entram) e sombreiamo os trechos (-5,-3) e (-1,2).

Resposta

(-5,-3);cup;(-1,2)

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