(10%) Questão 3. Resolva as seguintes inequações e represente geometricamente suas soluções:
(a) 2 x+9x+2 <= x;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2x+9x+2 <= x
e em seguida representar graficamente no eixo real o conjunto solução. O conteúdo envolvido é inequação racional, ou seja, vamos colocar tudo numa única fração, identificar domínio, pontos críticos (zeros do numerador e do denominador) e usar um estudo de sinal.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio: como há x+2 no denominador, temos
x neq -2
Passamos todos os termos para o mesmo lado:
2x+9x+2 - x <= 0
Colocando sobre o mesmo denominador x+2:
2x+9 - x(x+2)x+2 <= 0 Longrightarrow 2x+9 - (x^2+2x)x+2 <= 0 Longrightarrow -x^2 +9x+2 <= 0

Passo 3

Identificamos os pontos onde o numerador ou denominador se anulam:
numerador: -x^2 +9 = 0 Longrightarrow x^2 = 9 Longrightarrow x = -3,;x = 3;
denominador: x+2 = 0 Longrightarrow x = -2
Então os pontos críticos são -3, -2 e 3. Neles a expressão pode mudar de sinal ou não estar definida (no caso de x=-2).

Passo 4

Fazemos o quadro de sinais para
f(x)=9 - x^2x+2
1. Para x<-3: numerador 9-x^2<0, denominador x+2<0, logo f(x)>0.
2. Em x=-3: numerador zero, então f(-3)=0.
3. Para -3<x<-2: numerador >0, denominador <0, logo f(x)<0.
4. Em x=-2: f não está definida (denominador zero).
5. Para -2<x<3: numerador >0, denominador >0, logo f(x)>0.
6. Em x=3: numerador zero, então f(3)=0.
7. Para x>3: numerador <0, denominador >0, logo f(x)<0.
Queremos f(x)<=0, ou seja, onde f(x) é negativo ou zero. Pelos sinais acima, isso ocorre em
[-3,-2)(negativo em ((-3,-2)) e zero em (-3)),
e em
[3,infty)(zero em (3) e negativo em ((3,infty)))

Passo 5

Portanto o conjunto solução é
xin R: -3<= x< -2;cup;xin R: x>= 3
Geometricamente, no eixo real marca-se um ponto fechado em -3, uma abertura em -2 e sombreia o intervalo até -2 (excluído). Depois marca-se um ponto fechado em 3 e sombreia tudo para a direita.

Resposta

boxed[-3,-2),cup,[3,infty)
Representação gráfica no eixo real:
bul<=t ponto cheio em -3, sombra até -2 sem incluir -2.
bul<=t ponto cheio em 3, sombra seguindo para a direita até o infinito.

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