10 ^ a Questão: O eixo y e a reta x=a formam as margens de um rio, cuja correnteza tem velocidade w. Um barco entra no rio em x=a, e o motor proporciona uma velocidade v sempre apontando para a origem. Determine a trajetória y(x) descrita pelo barco

Passo 1

Nesse problema, um barco entra no rio em x = a e, em relação à água, tem motor sempre apontando para a origem com velocidade v, enquanto a correnteza joga o barco no sentido dos y positivos com velocidade w. O que precisamos é achar y(x), ou seja, a curva que o barco descreve no plano.

Passo 2

Vamos montar as equações de movimento. Se (x,y) é a posição do barco, o motor aponta para a origem com vetor unitário
u = l(-xr,-yrr), r=raizx^2+y^2
A velocidade total do barco no solo é a soma da velocidade relativa da água (0,w) e da velocidade do motor v,\mathbf{u}. Logo,

Passo 3

dxdt = -vxr, dydt = -vyr + w

Passo 4

Para achar y(x), formamos
dydx = dy/dtdx/dt = -v,y/r + w-v,x/r = v,y/r - wv,x/r = yx - w,rv,x
Essa EDO ainda é complicada em (x,y), então mudamos para coordenadas polares: x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.

Passo 5

Na forma polar, o motor dá
dr/dt|_motor = -v,
dθ/dt|_motor = 0.
A correnteza (0,w) tem projeções
(dr/dt)|c = wsintheta, (r,dtheta/dt)|c = wcostheta
Somando,

Passo 6

dr/dt = -v + wsintheta, dtheta/dt = wcosthetar

Passo 7

Formamos dr/dθ = (dr/dt)/(dθ/dt):
drdtheta = rwsintheta - vwcostheta

Passo 8

Separamos variáveis:
1rdr = wsintheta - vwcosthetadtheta = l(tantheta - vwsecthetar)dtheta
Integramos:
ln r = -ln|costheta| - vwln|sectheta+tantheta| + C

Passo 9

Voltando a uma expressão explícita,
r = A,sectheta,(sectheta+tantheta)^-v/w
No instante inicial (y=0, x=a) temos θ=0 e r=a, logo A=a.

Passo 10

Agora escrevemos r e θ em x,y e simplificamos. Chega-se, após álgebra, a relação implícita
raizx^2+y^2+y = a^w/v,x^1-w/v
Desse modo, isolando y em função de x, obtém-se

Passo 11

y(x) = x2l[l(axr)^w/v - l(xar)^w/vr]

Resposta

y(x)=dfracx2l[l(tfracaxr)^w/v-l(tfracxar)^w/vr].

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