Derive as funções:

Passo 1

O exercício pede pra gente derivar a função
g(x) ;=; sec^2 x1+x^2
Conteúdo envolvido: derivadas de funções trigonométricas e regra do quociente.
O que vamos precisar:
  1. Saber que dfracddx[sec x]=sec xtan x e usar a regra da cadeia pra sec^2 x.
  2. Saber que dfracddx[1+x^2]=2x.
  3. Aplicar a regra do quociente: se g(x)=tfracu(x)v(x), então
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 2

Vamos achar u(x)=sec^2 x e u'(x).
– Primeiro, sec x=1/cos x e dfracddx[sec x]=sec xtan x.
– Para sec^2 x usamos a regra da cadeia: se h(x)=[f(x)]^2, h'(x)=2f(x),f'(x).
Aqui f(x)=sec x e f'(x)=sec xtan x, logo
u'(x)=ddx[sec^2 x] =2,sec x;l(sec xtan xr) =2,sec^2 x,tan x

Passo 3

Agora o denominador v(x)=1+x^2.
A derivada é direta:
v'(x)=ddx[1+x^2]=2x

Passo 4

Já temos
u(x)=sec^2 x, u'(x)=2sec^2 xtan x, v(x)=1+x^2, v'(x)=2x
Aplicando a regra do quociente
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(2sec^2 xtan x),(1+x^2);-;sec^2 x,(2x)(1+x^2)^2

Passo 5

Podemos simplificar fatorando 2sec^2 x no numerador:
g'(x) =2sec^2 xl[(1+x^2)tan x - xr](1+x^2)^2

Resposta

boxed g'(x) =2sec^2 xl[(1+x^2)tan x - xr](1+x^2)^2

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