13,0 1. Julgue os itens a seguir em verdadeiro ou falso ( F ), justificando sua resposta.
(a) A equação diferencial é ordinária, linear, nāo homogêmea e de ordem 2.
(b) fator integrante da edo é .
(c) A equação é uma EDO homogênea de grau 2 .
(d) e formam um conjunto fundamental de soluçōes para a EDO . Mais ainda, e são linearmente independentes em .
(e) A solução geral da edo é .
Passo 1
O enunciado pede para julgar como verdadeiro (V) ou falso (F) cinco afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs), envolvendo classificação (ordem, linearidade, homogeneidade), fator integrante, equações homogêneas, conjuntos fundamentais de soluções e solução geral de EDOs a coeficientes constantes.
Passo 2
(a) A EDO
é ordinária (depende de derivadas em relação a uma única variável ), linear (aparece , e de forma linear), não homogênea (o termo do lado direito é ) e de ordem 2 (envolve ). Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) A EDO dada pode ser escrita como
Aqui , e o fator integrante é
Como dizem na afirmação, ela está incorreta. Logo, é falsa.
Passo 4
(c) A equação
é homogênea se o lado direito for função de . Note que
portanto é homogênea de grau zero (não de grau 2). A afirmação dizendo grau 2 é falsa.
Passo 5
(d) A EDO
tem equação característica com raízes e . Assim,
são duas soluções independentes (o Wronskiano ). Logo elas formam um conjunto fundamental em R. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) Para
y'' + 16y = 0
a equação característica é r^2+16=0, com raízes r=pm4,i. A solução geral é
y(x) = c1cos(4x) + c2sin(4x), c1,c2inR
Isso coincide com o que foi dado. A afirmação é verdadeira.