13,0 1. Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso ( F ), justificando sua resposta.
(a) A equação diferencial (1-x) y^prime prime-4 x y^prime+5 y=cos x é ordinária, linear, nāo homogêmea e de ordem 2.
(b) O fator integrante da edo y^prime2=yx é mu(x)=x^2.
(c) A equação d yd x=x yx^2-y^2 é uma EDO homogênea de grau 2 .
(d) y1(x)=e^2 x e y2(x)=e^-2 x formam um conjunto fundamental de soluçōes para a EDO y^prime prime-4 y=0 em I=R. Mais ainda, y1 e y2 são linearmente independentes em I=R.
(e) A solução geral da edo y^prime prime+16 y=0 é y(x)=c1 cos (4 x)+c2 sen(4 x), c1, c2 in R.

Passo 1

O enunciado pede para julgar como verdadeiro (V) ou falso (F) cinco afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs), envolvendo classificação (ordem, linearidade, homogeneidade), fator integrante, equações homogêneas, conjuntos fundamentais de soluções e solução geral de EDOs a coeficientes constantes.

Passo 2

(a) A EDO
(1 - x),y'' - 4x,y' + 5y = cos x
é ordinária (depende de derivadas em relação a uma única variável x), linear (aparece y, y' e y'' de forma linear), não homogênea (o termo do lado direito é cos xneq0) e de ordem 2 (envolve y''). Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) A EDO dada pode ser escrita como
y'2 = yx Longrightarrow y' - 2x,y = 0
Aqui P(x) = -2/x, e o fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Como dizem mu(x)=x^2 na afirmação, ela está incorreta. Logo, é falsa.

Passo 4

(c) A equação
dydx = x,yx^2 - y^2
é homogênea se o lado direito for função de y/x. Note que
f(x,y) = x,yx^2-y^2 e f(tx,ty) = t^2x,yt^2(x^2-y^2) = x,yx^2-y^2,
portanto é homogênea de grau zero (não de grau 2). A afirmação dizendo grau 2 é falsa.

Passo 5

(d) A EDO
y'' - 4y = 0
tem equação característica r^2-4=0 com raízes r=2 e r=-2. Assim,
y1(x) = e^2x, y2(x) = e^-2x
são duas soluções independentes (o Wronskiano W = e^2x & e^-2x 2e^2x & -2e^-2x = -4 neq 0). Logo elas formam um conjunto fundamental em R. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) Para
y'' + 16y = 0
a equação característica é r^2+16=0, com raízes r=pm4,i. A solução geral é
y(x) = c1cos(4x) + c2sin(4x), c1,c2inR
Isso coincide com o que foi dado. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F
(d) V
(e) V

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