Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 2 x^2-2 xraizx+2-2

Passo 1

O enunciado pede
calcular
limxto 2x^2-2xraizx+2-2
que é um problema de limite de função que, ao substituir x=2, dá forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do denominador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta:
x^2-2xl|x=2=2^2-2cdot2=4-4=0, raizx+2-2l|x=2=raiz4-2=2-2=0,
logo é a forma tfrac00 e precisamos manipular algebricamente.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, raizx+2+2:
x^2-2xraizx+2-2 =x^2-2xraizx+2-2cdotraizx+2+2raizx+2+2 =(x^2-2x),(raizx+2+2)(raizx+2)^2-2^2
No denominador temos
(raizx+2)^2-2^2=x+2-4=x-2

Passo 4

Então
x^2-2xraizx+2-2 =x(x-2),(raizx+2+2)x-2 =x,l(raizx+2+2r),
válido para xneq2. A expressão simplificada x(raizx+2+2) é contínua em x=2, então o limite é o valor dela em x=2:

Passo 5

limxto 2x,l(raizx+2+2r) =2,l(raiz4+2r) =2,(2+2) =8

Resposta

8

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