8́ Questão:

Calcule o momento de inércia de uma barra fina (unidimensional) de comprimento a, localizada no eixo x e densidade linear de massa constante \delta, com relação a um eixo perpendicular à barra (eixo y ) passando pelo centro da barra (lembrando que o momento de inércia é calculado como I_{y}=\int x^{2} \delta d s ).

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma barra fina de comprimento a, densidade linear constante \delta, situada ao longo do eixo x, em relação a um eixo y perpendicular à barra e passando pelo seu centro. Vamos usar a definição
I_{y} = \int x^{2}\,\delta\,d s
onde d s é um elemento de comprimento da barra e x é a distância desse elemento ao eixo de rotação.

Passo 2

Como a barra está alinhada com o eixo x e centrada na origem, podemos tomar d s = d x e os limites de integração de -\tfrac{a}{2} até +\tfrac{a}{2}. Assim,
I_{y} = \int_{-\,\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^{2}\,\delta\,d x = \delta \int_{-\,\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^{2}\,d x.

Passo 3

Calculamos a integral de x^{2}:
\int_{-\,\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^{2}\,d x = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\,\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} = \frac{1}{3}\Bigl(\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^{3} - \bigl(-\tfrac{a}{2}\bigr)^{3}\Bigr) = \frac{1}{3}\,\frac{a^{3}}{8}\cdot 2 = \frac{a^{3}}{12}.

Passo 4

Substituindo de volta em I_{y}:
I_{y} = \delta \,\frac{a^{3}}{12}.
Seja M a massa total da barra, então M = \delta\,a e
I_{y} = \frac{M}{a}\,\frac{a^{3}}{12} = \frac{M\,a^{2}}{12}.

Resposta

I_{y} = \delta\,\frac{a^{3}}{12} \quad\text{ou}\quad I_{y} = \frac{M\,a^{2}}{12}.

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