classifique as EDO’s dadas abaixo.
\left(1+y^{2}\right) y^{\prime \prime}+t y^{\prime}+y=e^{t}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
(1+y^{2})\,y'' + t\,y' + y = e^{t}
e pede para classificá-la quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e autonomia, além de verificar se está em forma explícita.

Passo 2

A ordem da EDO é dada pela maior derivada que aparece. Aqui aparece y'', que é a segunda derivada de y.
Portanto, trata-se de uma EDO de ordem 2.

Passo 3

Uma EDO é linear se os coeficientes de y'',\,y' e y dependem apenas da variável independente (aqui t) e não de y ou de suas derivadas.
No nosso caso o coeficiente de y'' é 1+y^{2}, que depende de y.
Logo, a equação é não linear.

Passo 4

Uma EDO é homogênea se, ao colocarmos o lado direito igual a zero, todos os termos contêm y ou suas derivadas.
Aqui o termo fonte é e^{t}\neq 0, ou seja, não há apenas combinações de y e suas derivadas.
Portanto, a EDO é não homogênea.

Passo 5

Uma EDO é autônoma quando não aparece explicitamente a variável independente t.
Nesta equação aparecem t\,y' e e^{t}, então há dependência explícita em t.
Logo, a EDO é não autônoma.
Além disso, podemos isolar y'' da forma
y'' = \frac{e^{t} - t\,y' - y}{1+y^{2}}
mostrando que ela está em forma explícita em y''.

Resposta

A EDO é de segunda ordem, não linear, não homogênea, não autônoma e está em forma explícita em y''.

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