10^a Questão: Uma onda senoidal de 2,00 m de comprimento de onda e amplitude de 0,100 m se move em uma corda com uma velocidade de 1,00 m / s para a direita. Em t=0, a extremidade esquerda da corda está na origem. Para essa corda, encontre (a) a frequência, (b) a frequência angular, (c) o número de onda angular e (d) a função de onda em unidades SI. Determine a equação do movimento em unidades SI para (e) a extremidade esquerda da corda e (f) o ponto na corda a x=1,50 m à direita da extremidade esquerda. (g) Qual é a velocidade máxima de qualquer elemento da corda?

Passo 1

O enunciado dá uma onda senoidal que se propaga para a direita numa corda com comprimento de onda lambda=2,00 m, amplitude A=0,100 m e velocidade de propagação v=1,00 m/s. Precisamos encontrar (a) a frequência f, (b) a frequência angular omega, (c) o número de onda k, (d) a função de onda y(x,t), (e) o movimento na extremidade esquerda ( x=0), (f) o movimento no ponto x=1,50 m e (g) a velocidade máxima de qualquer ponto da corda.

Passo 2

A frequência está relacionada à velocidade e ao comprimento de onda pela fórmula
f = vlambda
Substituindo v=1,00 m/s e lambda=2,00 m, temos
f = 1,002,00 = 0,500 Hz

Passo 3

A frequência angular omega é dada por
omega = 2pi f
Com f=0,500 Hz, resulta
omega = 2pi times 0,500 = pi rad/s

Passo 4

O número de onda angular k satisfaz
k = 2pilambda
Como lambda=2,00 m, obtemos
k = 2pi2,00 = pi rad/m

Passo 5

A forma geral da função de onda que se move para a direita é
y(x,t) = A sinl(kx - omega t + phir)
Em t=0 e x=0 a corda passa pela origem sem deslocamento, logo phi=0. Assim
y(x,t) = 0,100;sin!l(pi x - pi tr)(m)

Passo 6

Na extremidade esquerda ( x=0) a equação torna-se
y(0,t) = 0,100;sin!l(-pi tr) = -0,100;sin!l(pi tr) (m)

Passo 7

No ponto x=1,50 m temos
y(1,50,t) = 0,100;sin!l(pitimes1,50 - pi tr) =0,100;sin!l(1,5pi - pi tr) (m)

Passo 8

A velocidade máxima de um elemento da corda é a amplitude da velocidade transversal, dada por
vmax = A,omega
Substituindo A=0,100 m e omega=pi rad/s,
vmax = 0,100timespi approx 0,314 m/s

Resposta

a) f = 0,500 Hz
b) omega = pi rad/s
c) k = pi rad/m
d) y(x,t) = 0,100,sin!l(pi x - pi tr) m
e) y(0,t) = -0,100,sin!l(pi tr) m
f) y(1,50,t) = 0,100,sin!l(1,5pi - pi tr) m
g) vmax approx 0,314 m/s

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