Questão:(a) Mostre que a função
é uma solução para a equação de onda. (b) Mostre que a função do item (a) pode ser escrita como
e determine as formas funcionais para
e
. (c) Repita as partes (a) e (b) para a função
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que duas funções
e
satisfazem a equação da onda unidimensional
satisfazem a equação da onda unidimensional
e em seguida mostrar que cada uma pode ser escrita na forma
.
Passo 2
Para a função
calculamos as derivadas de segunda ordem.
Em :
Em
Em
:
Passo 3
Comparando os resultados vemos que
logo
e portanto
é solução da equação da onda.
Passo 4
Para escrever
como soma de funções de
, note que
Dividindo por 2 obtemos
Passo 5
Comparando com
identificamos
Passo 6
Agora para
calculamos de novo as derivadas de segunda ordem.
Em :
Em
Em
:
Passo 7
Como
segue que
também satisfaz a equação da onda.
Para expressá-la como soma de funções de usamos a identidade trigonométrica
Para expressá-la como soma de funções de
logo basta tomar
Resposta
(a) Ambas as funções satisfazem
.
(b) Para :
(b) Para
(c) Para
: