4^a Questão:(a) Mostre que a função y(x, t)=x^2+v^2 t^2 é uma solução para a equação de onda. (b) Mostre que a função do item (a) pode ser escrita como f(x+v t)+g(x-v t) e determine as formas funcionais para f e g. (c) Repita as partes (a) e (b) para a função y(x, t)=sin (x) cos (v t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que duas funções
y(x,t)=x^2+v^2t^2 e y(x,t)=sin(x)cos(vt)
satisfazem a equação da onda unidimensional
partial^2ypartial t^2 = v^2,partial^2ypartial x^2
e em seguida mostrar que cada uma pode ser escrita na forma
y(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt).

Passo 2

Para a função y(x,t)=x^2+v^2t^2 calculamos as derivadas de segunda ordem.
Em x:
partial ypartial x=2x, partial^2ypartial x^2=2
Em t:
partial ypartial t=2v^2t, partial^2ypartial t^2=2v^2

Passo 3

Comparando os resultados vemos que
partial^2ypartial t^2=2v^2 e v^2,partial^2ypartial x^2=v^2cdot 2=2v^2,
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partial^2ypartial t^2=v^2,partial^2ypartial x^2
e portanto y=x^2+v^2t^2 é solução da equação da onda.

Passo 4

Para escrever x^2+v^2t^2 como soma de funções de xpm vt, note que
(x+vt)^2+(x-vt)^2 = x^2+2xvt+v^2t^2 + x^2-2xvt+v^2t^2 =2x^2+2v^2t^2
Dividindo por 2 obtemos
x^2+v^2t^2 =12(x+vt)^2+12(x-vt)^2

Passo 5

Comparando com y=f(x+vt)+g(x-vt) identificamos
f(u)=12,u^2, g(w)=12,w^2

Passo 6

Agora para y(x,t)=sin(x)cos(vt) calculamos de novo as derivadas de segunda ordem.
Em x:
partial ypartial x=cos(x)cos(vt), partial^2ypartial x^2=-sin(x)cos(vt)
Em t:
partial ypartial t=-v,sin(x)sin(vt), partial^2ypartial t^2=-v^2,sin(x)cos(vt)

Passo 7

Como
partial^2ypartial t^2 =-v^2sin(x)cos(vt) e v^2,partial^2ypartial x^2 =v^2l(-sin(x)cos(vt)r) =-v^2sin(x)cos(vt),
segue que y=sin(x)cos(vt) também satisfaz a equação da onda.
Para expressá-la como soma de funções de xpm vt usamos a identidade trigonométrica
sin(x)cos(vt) =tfrac12l[sin(x+vt)+sin(x-vt)r],
logo basta tomar
f(u)=tfrac12,sin(u), g(w)=tfrac12,sin(w)

Resposta

(a) Ambas as funções satisfazem
partial^2ypartial t^2=v^2partial^2ypartial x^2.
(b) Para y=x^2+v^2t^2:
y = f(x+vt)+g(x-vt), f(u)=tfrac12u^2,; g(w)=tfrac12w^2
(c) Para y=sin(x)cos(vt):
y = f(x+vt)+g(x-vt), f(u)=tfrac12sin(u),; g(w)=tfrac12sin(w)

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