- Utilizando a Lei de Gauss para a gravitação, mostre que a força gravitacional no interior de uma casca esférica oca é igual a zero.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos a Lei de Gauss para a gravitação e mostrarmos que, no interior de uma casca esférica oca, a força gravitacional sobre uma partícula de prova é zero. O conteúdo central é a Lei de Gauss para o campo gravitacional, que relaciona o fluxo do campo numa superfície fechada ao total de massa envolvido, aproveitando também a simetria esférica.
Passo 2
Escolhemos como superfície de Gauss uma esfera de raio
totalmente contida no “buraco” da casca, isto é, com
menor que o raio interno da casca. Denotamos por
o campo gravitacional nesse ponto.
Pela simetria esférica do problema, o campo gravitacional em cada ponto da superfície de Gauss é radial e tem mesma magnitude. Logo podemos escrever
Pela simetria esférica do problema, o campo gravitacional em cada ponto da superfície de Gauss é radial e tem mesma magnitude. Logo podemos escrever
onde
é o versor radial.
Passo 3
O fluxo do campo pela superfície de Gauss é
Pela Lei de Gauss para a gravitação temos
onde
é a massa total contida dentro da superfície. Como nossa esfera está dentro do oco, não há massa em seu interior e
. Logo
Passo 4
Se o campo gravitacional
é nulo em todo ponto dentro da casca, a força sobre uma massa de prova
será
Resposta
A força gravitacional no interior de uma casca esférica oca é zero.