• Utilizando a Lei de Gauss para a gravitação, mostre que a força gravitacional no interior de uma casca esférica oca é igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a Lei de Gauss para a gravitação e mostrarmos que, no interior de uma casca esférica oca, a força gravitacional sobre uma partícula de prova é zero. O conteúdo central é a Lei de Gauss para o campo gravitacional, que relaciona o fluxo do campo numa superfície fechada ao total de massa envolvido, aproveitando também a simetria esférica.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss uma esfera de raio r totalmente contida no “buraco” da casca, isto é, com r menor que o raio interno da casca. Denotamos por vec g(vec r) o campo gravitacional nesse ponto.
Pela simetria esférica do problema, o campo gravitacional em cada ponto da superfície de Gauss é radial e tem mesma magnitude. Logo podemos escrever
vec g(vec r)=g(r),hat r
onde hat r é o versor radial.

Passo 3

O fluxo do campo pela superfície de Gauss é
ointS vec gcdot dvec S =ointS g(r),hat rcdothat r,dS =g(r),ointSdS =g(r)cdot4pi r^2,
Pela Lei de Gauss para a gravitação temos
ointSvec gcdot dvec S=-4pi G,Mrm int,
onde Mrm int é a massa total contida dentro da superfície. Como nossa esfera está dentro do oco, não há massa em seu interior e Mrm int=0. Logo
g(r)cdot4pi r^2=-4pi Gcdot0 Longrightarrow g(r)=0

Passo 4

Se o campo gravitacional vec g é nulo em todo ponto dentro da casca, a força sobre uma massa de prova m será
vec F=m,vec g= vec0

Resposta

A força gravitacional no interior de uma casca esférica oca é zero.

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