Mostre que
integralV B cdot(nabla times A) d tau=integralV A times(nabla times B) d tau+ointS(A times B) cdot d a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral de volume de B vezes o rotacional de A é igual a outra expressão que envolve o rotacional de B e uma integral de superfície. Isso faz parte do estudo do cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como rotacional e integrais de volume e superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades vetoriais e o teorema de Gauss (ou teorema da divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade vetorial bem útil que relaciona o produto escalar e produto vetorial com o rotacional. A identidade que vamos usar é:
B cdot (nabla times A) = nabla cdot (A times B) + A cdot (nabla times B)
Essa identidade nos permite reescrever o lado esquerdo da nossa equação original.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade na integral de volume que temos:
integralV B cdot (nabla times A) , dtau = integralV [ nabla cdot (A times B) + A cdot (nabla times B) ] dtau
Aqui, separei a integral em duas partes usando a identidade que mencionamos.

Passo 4

Agora, vamos lidar com cada parte dessa integral separadamente. A primeira parte é:
integralV nabla cdot (A times B) , dtau
Para essa integral, podemos aplicar o Teorema de Gauss, que nos diz que a integral do divergente de um campo vetorial sobre um volume é igual à integral desse campo ao longo da superfície que envolve o volume. Ou seja:
integralV nabla cdot (A times B) , dtau = ointS (A times B) cdot da
Aqui, S é a superfície que envolve o volume V , e da é o vetor de área da superfície.

Passo 5

A segunda parte da nossa integral é:
integralV A cdot (nabla times B) , dtau
Essa parte fica assim mesmo, não precisamos fazer modificações nela. Então, juntando tudo, temos:
integralV B cdot (nabla times A) , dtau = integralV A cdot (nabla times B) , dtau + ointS (A times B) cdot da

Resposta

Portanto, demostramos que
integralV B cdot (nabla times A) , dtau = integralV A times (nabla times B) , dtau + ointS (A times B) cdot da

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