Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral de volume de
vezes o rotacional de
é igual a outra expressão que envolve o rotacional de
e uma integral de superfície. Isso faz parte do estudo do cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como rotacional e integrais de volume e superfície. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades vetoriais e o teorema de Gauss (ou teorema da divergência).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade vetorial bem útil que relaciona o produto escalar e produto vetorial com o rotacional. A identidade que vamos usar é:
Essa identidade nos permite reescrever o lado esquerdo da nossa equação original.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa identidade na integral de volume que temos:
Aqui, separei a integral em duas partes usando a identidade que mencionamos.
Passo 4
Agora, vamos lidar com cada parte dessa integral separadamente. A primeira parte é:
Para essa integral, podemos aplicar o Teorema de Gauss, que nos diz que a integral do divergente de um campo vetorial sobre um volume é igual à integral desse campo ao longo da superfície que envolve o volume. Ou seja:
Aqui,
é a superfície que envolve o volume
, e
é o vetor de área da superfície.
Passo 5
A segunda parte da nossa integral é:
Essa parte fica assim mesmo, não precisamos fazer modificações nela. Então, juntando tudo, temos:
Resposta
Portanto, demostramos que