(10%) Questão 5. Resolva a equação
raizx+2+raizx-3=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raizx+2 + raizx-3 = 5,
que envolve raízes quadradas (equação radical). Para isso, vamos determinar o domínio em que a expressão está definida, depois isolar termos e aplicar o processo de elevar ao quadrado duas vezes para eliminar as raízes, cuidando de verificar possíveis soluções extraviadas.

Passo 2

Determinar o domínio de definição. Como temos raizx+2 e raizx-3, precisamos de
x+2 >= 0 e x-3 >= 0,
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x >= -2 e x >= 3 Longrightarrow x >= 3

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar, ao menos em parte, as raízes:
l(raizx+2 + raizx-3r)^2 = 5^2
Isso dá
(x+2) + (x-3) + 2raiz(x+2)(x-3) = 25,
ou seja
2x - 1 + 2raiz(x+2)(x-3) = 25 Longrightarrow 2raiz(x+2)(x-3) = 26 - 2x
Dividindo por 2 e isolando a raiz:
raiz(x+2)(x-3) = 13 - x

Passo 4

Elevar novamente ao quadrado para eliminar a raiz remanescente:
(x+2)(x-3) = (13 - x)^2
No lado esquerdo expandimos:
x^2 - x - 6 = 169 - 26x + x^2

Passo 5

Simplificar e resolver a equação resultante:
x^2 - x - 6 = x^2 - 26x + 169 Longrightarrow - x - 6 = -26x + 169 Longrightarrow 25x = 175 Longrightarrow x = 7
Verificamos que x=7 pertence ao domínio x>=3 e substituindo de volta em raizx+2+raizx-3 obtemos raiz9+raiz4=3+2=5, que satisfaz a equação original.

Resposta

x = 7

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