(15%) Questão 4. Considere um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado a. Seja A a área desse retângulo.
(c) Qual a razão Asquare^ máx / Atriang<=á entre a área do maior retângulo inscrito num triângulo equilátero e a área deste triângulo?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a área do maior retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado a e a área desse triângulo. O conteúdo usado será otimização de área via derivada e semelhança de triângulos.

Passo 2

Desenhe o triângulo com base de comprimento a sobre o eixo x e altura
H = araiz32
Inscrevemos um retângulo de base b sobre a base do triângulo e altura h. Pelas semelhanças, no nível y=h a largura disponível no triângulo é proporcional a
b = al(1 - hHr)

Passo 3

A área do retângulo em função de h vale
A(h) = bcdot h = a,hl(1 - hHr) = al(h - h^2Hr)

Passo 4

Para maximizar A(h) calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(h) = al(1 - 2hHr)=0 Longrightarrow h = H2 = araiz34

Passo 5

Com h = H/2 a base fica
b = al(1 - tfrac12r)=a2,
logo a área máxima do retângulo é
Asquare^máx = b,h = a2cdotaraiz34 = a^2raiz38 á
A área do triângulo é
Atriang<= = acdot H2 = acdotl(araiz3/2r)2 = a^2raiz34

Passo 6

Portanto, a razão pedida é
Asquare^máxAtriang<= = tfraca^2raiz38tfraca^2raiz34 = 1/81/4 = 12 á

Resposta

Asquare^máxAtriang<= = tfrac12á.

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