(15%) Questão 4. Considere um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado
. Seja
a área desse retângulo.
(c) Qual a razão
entre a área do maior retângulo inscrito num triângulo equilátero e a área deste triângulo?
(c) Qual a razão
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a área do maior retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado
e a área desse triângulo. O conteúdo usado será otimização de área via derivada e semelhança de triângulos.
Passo 2
Desenhe o triângulo com base de comprimento
sobre o eixo
e altura
Inscrevemos um retângulo de base
sobre a base do triângulo e altura
. Pelas semelhanças, no nível
a largura disponível no triângulo é proporcional a
Passo 3
A área do retângulo em função de
vale
Passo 4
Para maximizar
calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Com
a base fica
logo a área máxima do retângulo é
A área do triângulo é
Passo 6
Portanto, a razão pedida é