(15%) Questão 4. Considere um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado a. Seja A a área desse retângulo.
(a) Expresse A como função quadrática de um de seus lados.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo equilátero de lado a e altura
h = araiz32
Nele inscrevemos um retângulo cuja base mede x ao longo da base do triângulo e cuja altura é y, de modo que os vértices superiores do retângulo tocam os lados inclinados do triângulo. Queremos expressar a área
A = x,y
como uma função quadrática de x.

Passo 2

Para relacionar x e y usamos semelhança de triângulos: a largura do triângulo a uma altura y acima da base é
L = al(1 - yhr),
e esse segmento de comprimento L é exatamente a base x do retângulo. Logo,
x = al(1 - yhr)

Passo 3

Isolando y em função de x:
x = a - ah,y Longrightarrow ah,y = a - x Longrightarrow y = hl(1 - xar) = h - ha,x

Passo 4

Substituindo em A = x,y:
A(x) = xl(h - haxr) = h,x - ha,x^2
Como h = tfracaraiz32, temos
A(x) = araiz32,x - raiz32,x^2 = raiz32l(a,x - x^2r)

Resposta

A(x) = raiz32l(a,x - x^2r)

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