(15%) Questão 4. Considere um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado
. Seja
a área desse retângulo.
(a) Expresse
como função quadrática de um de seus lados.
(a) Expresse
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo equilátero de lado
e altura
Nele inscrevemos um retângulo cuja base mede
ao longo da base do triângulo e cuja altura é
, de modo que os vértices superiores do retângulo tocam os lados inclinados do triângulo. Queremos expressar a área
como uma função quadrática de
.
Passo 2
Para relacionar
e
usamos semelhança de triângulos: a largura do triângulo a uma altura
acima da base é
e esse segmento de comprimento
é exatamente a base
do retângulo. Logo,
Passo 3
Isolando
em função de
:
Passo 4
Substituindo em
:
Como
, temos