Verifique que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
\frac{d y}{d x}=1+\frac{y}{x};

Passo 1

O enunciado pede para: verificar que a equação
\frac{d y}{d x}=1+\frac{y}{x}
é homogênea e, em seguida, resolvê‑la.
Informações dadas: a equação diferencial ordinária de primeira ordem \dfrac{dy}{dx}=1+\dfrac{y}{x}. Não há condições iniciais; portanto esperamos uma família geral de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Explicação do que significa “homogênea” aqui (passo didático): uma equação de primeira ordem é dita homogênea quando o lado direito pode ser escrito apenas em função da razão \dfrac{y}{x}. Ou seja, existe uma função F tal que
\frac{dy}{dx}=F\!\left(\frac{y}{x}\right).
No nosso caso vejamos o lado direito da equação original:
1+\frac{y}{x}.
Repare que esse termo é exatamente uma função de \dfrac{y}{x}: podemos definir
F\!\left(\frac{y}{x}\right)=1+\frac{y}{x}.
Portanto a equação é homogênea (porque o RHS depende somente de \dfrac{y}{x}). Isso é a verificação pedida.

Passo 3

Método de resolução (e por que ele funciona): para equações homogêneas é clássico fazer a substituição
y=vx,
onde v é uma função de x (ou seja v(x)=\dfrac{y(x)}{x}). Essa troca transforma a equação em uma equação em v e x que costuma ser separável ou mais simples. Primeiro calculemos \dfrac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Usando regra do produto:
y=vx \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Expliquei: a derivada de vx é v\cdot 1 + x\cdot dv/dx.

Passo 4

Substituímos \dfrac{dy}{dx} e y na equação original. A equação original era
\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}.
Com y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} obtemos:
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{vx}{x}.
Simplificando o termo da direita \dfrac{vx}{x}=v, ficamos com
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + v.
Agora subtraia v dos dois lados para isolar o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = 1.

Passo 5

Resolvendo a equação para v: dividimos por x (assumindo x\neq0, domínio discutido mais abaixo):
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x. A integral de \dfrac{dv}{dx} em dx é v, e a integral de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Assim:
v = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária). Expliquei: usamos \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C porque essa é a primitiva padrão de 1/x e o valor absoluto é necessário para cobrir x<0.

Passo 6

Voltando à variável original y: lembrando que v=\dfrac{y}{x}, temos
\frac{y}{x} = \ln|x| + C.
Multiplicando por x,
y = x\big(\ln|x| + C\big).
Podemos também escrever de forma distribuída:
y = x\ln|x| + Cx.
Essa é a família geral de soluções da equação diferencial.

Passo 7

Verificação rápida (importante na prova): derivemos a solução encontrada e verifiquemos que satisfaz a ODE. Seja y = x\ln|x| + Cx. Então
\frac{dy}{dx} = \ln|x| + 1 + C,
pois \dfrac{d}{dx}(x\ln|x|)=\ln|x|+1 e \dfrac{d}{dx}(Cx)=C. Agora calcule o lado direito da ODE:
1+\frac{y}{x} = 1 + \frac{x\ln|x|+Cx}{x} = 1 + \ln|x| + C.
Como \dfrac{dy}{dx} = 1+\ln|x|+C, a igualdade é satisfeita, confirmando que a solução está correta.

Passo 8

Observações finais (dicas para a prova): a substituição y=vx é um padrão para qualquer ODE da forma \dfrac{dy}{dx}=F\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Também é possível resolver essa mesma equação tratando‑a como uma equação linear de primeira ordem em y:
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=1,
usando fator integrante \mu(x)=e^{-\int \frac{1}{x}dx}=1/|x|, o que leva à mesma resposta. Em prova escolha o método que você praticou mais; a substituição y=vx costuma ser mais direta para exercícios como este. Lembre‑se sempre de anotar a constante de integração e cuidar do domínio (aqui x\neq0).

Resposta

y = x\big(\ln|x| + C\big)

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