Verifique que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede para: verificar que a equação
é homogênea e, em seguida, resolvê‑la.
Informações dadas: a equação diferencial ordinária de primeira ordem . Não há condições iniciais; portanto esperamos uma família geral de soluções com uma constante arbitrária.
Informações dadas: a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Passo 2
Explicação do que significa “homogênea” aqui (passo didático): uma equação de primeira ordem é dita homogênea quando o lado direito pode ser escrito apenas em função da razão
. Ou seja, existe uma função
tal que
No nosso caso vejamos o lado direito da equação original:
Repare que esse termo é exatamente uma função de
: podemos definir
Portanto a equação é homogênea (porque o RHS depende somente de
). Isso é a verificação pedida.
Passo 3
Método de resolução (e por que ele funciona): para equações homogêneas é clássico fazer a substituição
onde
é uma função de
(ou seja
). Essa troca transforma a equação em uma equação em
e
que costuma ser separável ou mais simples. Primeiro calculemos
em termos de
e
. Usando regra do produto:
Expliquei: a derivada de
é
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação original. A equação original era
Com
e
obtemos:
Simplificando o termo da direita
, ficamos com
Agora subtraia
dos dois lados para isolar o termo com
:
Passo 5
Resolvendo a equação para
: dividimos por
(assumindo
, domínio discutido mais abaixo):
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral de
em
é
, e a integral de
é
. Assim:
onde
é a constante de integração (real arbitrária). Expliquei: usamos
porque essa é a primitiva padrão de
e o valor absoluto é necessário para cobrir
.
Passo 6
Voltando à variável original
: lembrando que
, temos
Multiplicando por
,
Podemos também escrever de forma distribuída:
Essa é a família geral de soluções da equação diferencial.
Passo 7
Verificação rápida (importante na prova): derivemos a solução encontrada e verifiquemos que satisfaz a ODE. Seja
. Então
pois
e
. Agora calcule o lado direito da ODE:
Como
, a igualdade é satisfeita, confirmando que a solução está correta.
Passo 8
Observações finais (dicas para a prova): a substituição
é um padrão para qualquer ODE da forma
. Também é possível resolver essa mesma equação tratando‑a como uma equação linear de primeira ordem em
:
usando fator integrante
, o que leva à mesma resposta. Em prova escolha o método que você praticou mais; a substituição
costuma ser mais direta para exercícios como este. Lembre‑se sempre de anotar a constante de integração e cuidar do domínio (aqui
).